软土地区，基坑抗隆起稳定性是基坑工程支护设计、施工、监测和周边环境保护等必须认真考虑的问题，它不仅关系到基坑支护结构体本身安全稳定，还与基坑支护体和周边环境的变形密切相关，因此基坑抗隆起稳定性验算方法一直是深受岩土工程界理论研究和工程实践广泛关注的课题。目前，基坑抗隆起稳定性分析研究方法有极限平衡法、极限分析法和数值模拟计算法等，但主要用于基坑支护设计且为国家标准、行业标准和我国各省市规范规程所采用的仍然是地基承载力和圆弧滑动这两种计算模式，其中地基承载力计算模式^[1]又分为：假定基底光滑情况下的Prandtl（1920）计算式和假定基底粗糙情况下的Terzaghi（1943）计算式。Prandtl计算式较为常用，也被我国行业标准^[2]和上海市工程建设标准^[3]等大多数省、市规范所采用。在深厚软土地区，特别是在浙江宁波、温州等沿海分布有深厚淤泥质土地区，支护体墙底土体抗剪强度指标c，φ均较小，根据Prandtl计算式计算所得的抗隆起安全系数随挡土体插入深度加大并无太多的增大，按规范计算所得的抗隆起安全系数不能满足规范所要求的限值标准，造成设计人员和工程管理人员的极大困惑。为此，王成华等^[4]根据Terzaghi地基承载力理论，针对基坑隆起破坏均为单面滑动失稳的实际情况，推导出抗隆起稳定性的临界宽度法计算式；童磊等^[5]在收集分析浙江软土地区多项基坑工程实例的基础上，提出一种墙底地基承载力抗隆起稳定性计算模型。这些研究工作都从不同角度提出对Prandtl计算式的改进。近年来，笔者在浙江温州、宁波和福建等存在深厚淤泥质土地区进行基坑支护设计时发现，根据现行规范的基坑墙底抗隆起Prandtl计算式计算的抗隆起安全系数，即使增大支护体的插入比也还是无法满足规范要求。经对郑大同先生^[6]所介绍的Prandtl计算式推导过程研究，结合现有的改进计算方法和基坑设计工作实践，本文特提出一种对Prandtl计算式的改进计算方法，并与规范、改进计算方法等进行比较，还对规范计算方法取值现有的标准进行探讨，以供大家讨论。

1.   现有规范和改进计算方法

1.1   规范计算方法

我国行业标准^[2]、上海市工程建设标准^[3]、浙江省工程建设标准^[7]和浙江省宁波市细则^[8]均按下面方法验算支护体墙底抗隆起稳定性，只是K_b取值不同。

当基坑底部土体为淤泥、淤泥质土或黏性土时，坑底土抗隆起稳定性应按式（1）验算支护体墙底地基承载力。计算图式如图1所示。

图  1  支护体墙底地基承载力验算图

Figure  1.  Diagram of foundation bearing capacity checking at the bottom of a retaining wall

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式中：N_c，N_q−地基土的承载力系数；

γ₁−坑外地表至墙底或软弱下卧层顶面，各土层天然重度的加权平均值/（kN·m⁻³）；

γ₂−坑内开挖面以下至墙底或软弱下卧层顶面各土层天然重度加权平均值/（kN·m⁻³）；

h−基坑开挖深度/m；

t−支护体的插入深度/m；

q_k−基坑坑外地面超载/kPa；

K_b−支护体墙底土体抗隆起安全系数，不同规范取值不同。

对于K_b取值，按一级、二级、三级基坑，我国行业标准^[2]、浙江省标准^[7]和宁波市细则^[8]均为分别不应小于1.8，1.6和1.4；上海市标准^[3]为分别不小于2.5，2.0和1.7。

1.2   改进计算方法

（1）临界宽度法

王成华等^[4]根据Terzaghi地基承载力理论，针对基坑隆起破坏均为单面滑动失稳的实际情况，按图2模式推导出计算抗隆起稳定性的临界宽度法计算式K_L。

式中：K_L−临界宽度法计算的抗隆起安全系数；

b−临界宽度/m；

p_1u−中间计算参数/kPa；

T−滑动体竖向抗剪力/（k·m⁻¹）；

图  2  单面滑动粗糙基底抗隆起承载力示意图

Figure  2.  Diagram of uplift bearing capacity of a single-sided sliding rough substrate

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其它同图1。

具体计算式如下：

其中： ${K_{{\rm{pr}}}} = {\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}\left({45^ \circ } + \displaystyle \dfrac{\varphi }{2}\right)$

（2）考虑坑内上覆土抗剪强度计算法

软土地区基坑挡墙插入比普遍较大，基坑墙底隆起破坏必须穿过上覆土层，所以，童磊等^[3]在收集分析浙江软土地区多项基坑工程实例的基础上提出图3所示的墙底地基承载力抗隆起计算模型：

图  3  计入上覆土抗剪强度计算模式

Figure  3.  Calculation mode considering shear strength of overlying soil

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式中：K_J−计入坑内上覆土抗剪强度的墙底抗隆起安全系数；

其它符号同前。

式（3）新增上覆土体抗剪强度分量$ct$，显然在量纲上是不匹配的，公式也未进行严格的理论推导。

1.3   讨论

Prandtl计算式是一经典的根据极限平衡理论计算地基极限承载力公式，汪炳鉴等^[9]最早于1983年提出可以采用此公式进行抗隆起安全系数的验算，以求得基坑支护体地下连续墙的入土深度。李和志等^[10]和邹广电^[11]采用极限分析的上限法，陈立国等^[12]采用极限分析法的下限法均推导出与Prandtl计算式同样的表达式。显然，上述研究始终以墙底土体为研究对象，以研究地基极限承载力为出发点，与基坑开挖卸荷所产生的隆起破坏还是有明显差异。临界宽度法考虑基坑墙底以上主动区土体抗剪强度对基坑抗隆起稳定性的有利贡献，推导过程严密、合理，但忽视了被动区墙底以上土体的作用；而童磊等^[3]所提出的计入被动区上覆土体抗剪强度对抗隆起的有利作用，但未考虑主动区土体抗剪作用，且没有进行严密的理论推导，新增的抗隆起分量ct在量纲上也不匹配。同时，汪炳鉴等^[9]在提出采用Prandtl计算式时，安全系数仅仅只要求大于1.10～1.20，而现在各种规范均要求大于1.4～1.8，甚至大于1.7～2.5。所以，有必要深入研究Prandtl计算式的来源及推导假定，在此基础上结合基坑工程实际进行改进，并对安全系数取值标准进行讨论。

2.   Prandtl计算式及其改进

2.1   Prandtl计算式

为溯本求源，现根据郑大同所著《地基极限承载力的计算》^[6]将Prandtl计算式推导过程介绍如下。

假定材料的重度为零，条形基础宽度为B、基础埋深为t，应用塑性平衡原理，所得的滑动面形成了2个对称的被动状态区及1个主动状态区，中间夹着对数螺线的过渡区，这样就有可能不用数学微分方程来求解，而用力系平衡方法求得条形基础极限承载力q_f的计算公式。

为推导q_f的计算式，考虑作用在土体OCDI上的力系，见图4（b）。对数螺线CD的方程为：$r = {r_0}{{\rm{e}}^{\theta {{\rm{tan}}}\varphi }}$，其符号的意义示于图4（a）。由图4可得：

图  4  Prandtl课题推导

Figure  4.  Derivation of the Prandtl Project

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于是， $\displaystyle \overline{AD}=\frac{B}{2}{\rm{e}}^{ \tfrac{\text{π}}{\rm{2}}{\rm{tan}}\varphi } \cdot {\rm{csc}}\alpha$

根据假定，把土体OCDI的重量略去不计。从图4（b）可知，作用在对数螺线CD上任意点的法向力与摩擦力的合力F，都通过对数螺线的中心点。这样，可把A点作为矩心，得：

根据平衡条件：

$\displaystyle\sum {{M_{\rm{A}}} = {M_{{q_{\rm{f}}}}} + {M_{{p_{\rm{a}}}}} - {M_q} - {M_{{p_{\rm{p}}}}} - {M_{\rm{c}}} = 0}$

可得：${q}_{\rm{f}}=\left(q+c \cdot \rm{cot}\varphi \right){\rm{e}}^{{{{\text{π}} \tan}}\varphi } \cdot \displaystyle \frac{1+\rm{sin}\varphi }{1-\rm{sin}\varphi }-c \cdot \rm{cot}\varphi$

令：${N}_{q}={\rm{e}}^{{{{\text{π}} \tan}}\varphi } \cdot {{\rm{tan}}}^{2}\left(\displaystyle \frac{{\text{π}}}{\rm{4}}+\frac{\varphi }{2}\right)=\left(\displaystyle \frac{1+\rm{sin}\varphi }{1-\rm{sin}\varphi }\right){\rm{e}}^{{{{\text{π}} \tan}}\varphi }$

则：${q}_{\rm{f}}=\gamma t{N}_{\rm{q}}+c{N}_{\rm{c}}$

可以看出，Prandtl的极限承载力公式与条形基础的宽度B无关，这是由于推导公式时忽略不计地基土的容重所致。

2.2   Prandtl计算式改进

分析基坑开挖而引起的隆起破坏与计算地基极限承载力的区别，发现Prandtl计算式的边界假定未能充分反映在基坑开挖过程中基坑内外两侧土体对抗隆起破坏抑制的贡献，为此在图4的基础上增加墙底以上土体抗剪切作用的边界条件如图5所示。

图  5  考虑坑内外两侧土体抗剪作用计算模式

Figure  5.  Calculation model considering the shear function of soil inside and outside the pit

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如图5所示，考虑基坑内外两侧土体抗剪作用，在图4所示的Prandtl计算式中，以AIGHLMA为竖向受力平衡体，AIG底边作用向上的地基极限承载力q_f，基坑内外侧土体AM、GH界面上分别有内侧被动土体抗剪力T_n、外侧主动土体抗剪力T_w，地面有附加荷载作用q_k。T_n、T_w计算如下 ：

令：支护体基础宽度$B=\left(h+t\right)\cdot \rm{cot}\left(\dfrac{{\text{π}}}{\rm{4}}+ \displaystyle \frac{\varphi }{2}\right)$

则有：${K}_{\rm{JJ}}=\displaystyle \frac{(c{N}_{\rm{c}}+\gamma t{N}_{\rm{q}})B+{T}_{\rm{n}}+{T}_{\rm{w}}}{\left[\gamma \left(h+t\right)+{q}_{\rm{k}}\right]B}$

经整理，可以得到考虑基坑墙底以上内外两侧土体抗剪作用的抗隆起安全系数计算式：

式中：$N_{\rm{c}}^{\text{'}} = {\rm{tan}}\left(\displaystyle \frac{{{\text{π}}}}{{\rm{4}}} + \frac{\varphi }{2}\right)\left[ {1 + \dfrac{t}{{h + t}}} \right]$

3.   敏感度分析

为科学、合理地分析上述4个公式反映的基坑抗隆起稳定性对影响因素的敏感性，运用系统分析中的敏感性分析方法^[13]，根据敏感度函数^[14]评价基坑挖深、支护体插入深度、土层重度、土体黏聚力和内摩擦角等因素对基坑墙底抗隆起稳定性影响的差异。援引文献[15]工程实例，并参考已有类似工程经验，影响因素基准参数和变化范围列示于表1。

表  1  影响因素基准参数和变化范围

Table  1.  Benchmark parameters and variation range of the influencing factors

因素	基坑挖深 h/m	围护桩插入 深度t/m	土层重度 γ/（kN·m−3）	土层黏聚力 c/kPa	土层内摩擦角 φ/（°）
基准参数	9.65	12.85	17.85	4.34	10.68
变化范围	6～15	8～20	15～20	2～8	5～15

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经计算，不同计算公式对影响因素的敏感度不同，但趋势一致（图6）。各计算公式对影响因素的敏感度排序如表2所示。从表2可以看出，软土的内摩擦角是首要影响因素，这在4个公式中均表现一致。基坑挖深和支护体插入深度是主要影响因素，土层黏聚力是次要影响因素。土层重度对所有公式计算结果均影响不大，可忽略其影响。计入基坑内侧土体抗剪强度影响的改进公式因未进行严格的理论推导，与其它3个公式有一定差异，表现在c和t的敏感度排序上与其它3个公式不同。

图  6  不同公式抗隆起系数与各影响因素的敏感度曲线

Figure  6.  Sensitivity curves of uplift resistance coefficient of different formulas among the different factors of foundation pit

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表  2  各影响因素敏感度排序

Table  2.  Ranking of sensitivity of various influencing factors

因素敏感度排序
公式	因素	h	t	γ	c	φ
	基准值	9.65	12.85	17.85	4.34	10.68
Kb	敏感度	0.0387	0.0303	0.0007	0.0136	0.083
	排序	2	3	5	4	1
KJ	敏感度	0.0398	0.0306	0.0051	0.0309	0.0766
	排序	2	4	5	3	1
KJJ	敏感度	0.039	0.0287	0.0013	0.0163	0.0844
	排序	2	3	5	4	1
KL	敏感度	0.0218	0.0161	0.0005	0.0093	0.0554
	排序	2	3	5	4	1

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在深厚软土地区，土体φ值较小且变化幅度不大。当基坑挖深一定时，为确保基坑稳定，墙底抗隆起稳定性就只有通过加大支护体插入深度来满足规范要求。如不考虑基坑支护体墙底以上土体抗剪强度的作用，支护墙体插入深度过大，造成基坑支护设计的极大浪费。规范公式K_b和临界宽度法计算公式K_L均没有反映墙底以上土体抗剪强度的影响；计算式K_J只考虑了基坑内侧抗剪强度影响，且计算公式未通过严格的理论推导，计算依据不充分。计算式K_JJ充分考虑基坑内外两侧土体抗剪强度作用，公式推导也依据原Prandtl计算式的理论框架，计算结果反映了基坑围护体内外两侧土体抗剪强度的作用，对优化围护体插入深度作用十分显著。

4.   工程实例

4.1   实例分析

本基坑工程位于温州市瓯海区核心片区站南单元A-19地块，整个用地范围内下设二层地下室，基坑开挖总面积27 610 m²，周长841 m，基坑普遍挖深为9.05 m；基坑北侧距基坑开挖边线30 m有正在运行的轻轨R1线，安全等级为一级，其它三侧基坑安全等级为二级。根据勘察报告，项目场地属冲海积平原地貌，地面以下30 m范围内除浅部3 m为黏土外，其它均为淤泥。勘察揭露场地分布的②₁、②₂层淤泥具有厚度大、含水量高、压缩性高、抗剪强度低、灵敏度高等特点。②₁、②₂层淤泥的基坑支护设计岩土参数见表3。

基坑支护设计采用桩径900（北侧）/850（其他三侧）的钻孔灌注桩加二道混凝土内支撑。为优化桩长，按支护桩插入比分为1∶1.5～1∶4.0等8种情况分别验算基坑坑底抗隆起稳定性K₀和墙底抗隆起稳定性（K_b、K_L、K_JJ、K_J）。验算K₀时，带**数据是以上海市规范^[3]以第二道内支撑为圆心的圆弧滑动计算模式计算，强度指标取峰值；另外的数值是采用浙江省标准^[7]以十字板抗剪强度指标验算。验算墙底抗隆起稳定性时，土层黏聚力和内摩擦角按固结快剪指标峰值和7折取值分别验算，计算结果见表4。按规范要求基坑北侧需满足K₀≥1.6、K₀**≥2.2、K_b≥1.8，其它三侧需满足K₀≥1.5、K₀**≥1.9、K_b≥1.6。根据浙江地区岩土勘察报告，一般均建议在验算K_b时采用固结快剪强度7折指标，K_b始终不满足要求，但按峰值指标验算则满足要求。综合考虑坑底抗隆起稳定性系数K₀，最后经专家评审确定，基坑北侧采用1∶2.2的插入比，其它三侧采用1∶2.0的插入比。目前，基坑工程已施工完毕，施工过程支护体变形监测结果也表明原设计满足环境保护要求，实践证明原设计的桩长是合理的。规范中基坑墙底抗隆起验算公式不尽合理，在深厚软土地区，规范中的K_b取值标准也不合理，远远大于按地基承载力原理的取值标准（≥1.10～1.20），即使插入深度达到1∶4.0也不满足不小于1.6的要求，说明有必要重新考虑K_b取值标准和是否需要采用固结快剪7折强度指标来验算K_b。

表  3  基坑支护设计岩土参数表

Table  3.  Parameters of the foundation pit design

土层名称	土层厚度/m	γ/(kN·m−3)	抗剪强度指标				十字板剪切试验
			固结快剪		三轴UU
			c/kPa	φ/（°）	c/kPa	φ/（°）	Cu/kPa	Cu’/kPa
②1	18	15.9	8.3/11.9*	6.7/9.6*	7.3	0.4	21.28	7.08
②2	20	16.2	8.5/12.1*	6.9/9.8*	8.4	0.4	35.84	12.53
注：表中带*数据为峰值强度。

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表  4  坑底和墙底抗隆起计算结果对比

Table  4.  Comparison of the anti-uplift calculation results between pit bottom and wall bottom

序号	围护桩插入比	坑底抗隆起稳定系数K0	墙底抗隆起稳定系数
			Kb	KJ	KJJ	KL
1	1∶1.5	1.397/1.305**	1.194/1.621*	1.491/2.035*	1.321/1.796*	1.318/1.602*
2	1∶1.8	1.482/1.415**	1.258/1.70*	1.578/2.147*	1.388/1.879*	1.350/1.642*
3	1∶2.0	1.524/1.489**	1.295/1.745*	1.627/2.209*	1.425/1.925*	1.368/1.666*
4	1∶2.2	1.558/1.564**	1.326/1.784*	1.670/2.264*	1.460/1.966*	1.384/1.685*
5	1∶2.4	1.587/1.639**	1.366/1.819*	1.711/2.313*	1.488/2.003*	1.405/1.702*
6	1∶2.6	1.807/1.868**	1.391/1.850*	1.745/2.357*	1.514/2.035*	1.417/1.718*
7	1∶3.0	1.996/2.145**	1.435/1.904*	1.804/2.431*	1.559/2.091*	1.439/1.745*
8	1∶4.0	2.231/2.715**	1.515/2.002*	1.912/2.568*	1.642/2.194*	1.478/1.794*
注：表中带*数值是按固结快剪峰值强度指标取值；带**数值是采用上海市规范按固结快剪峰值强度指标取值。

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4.2   工程实例统计分析

为验证上述4个公式计算结果的合理性及标准取值问题，选取文献^[5]中16项已成功实施的基坑工程案例，因原文未交待强度指标取值问题，所以这里只讨论软土基坑抗隆起稳定性标准取值问题。根据国家行业标准^[2]、浙江省规范^[7]和宁波市细则^[8]，一级、二级、三级基坑的标准均为分别不应小于1.8，1.6，1.4；从表5可以看出，按K_b、K_L式计算有4项工程不符合要求；按K_JJ式计算有2项工程不符合要求；按K_J式计算全部达到要求。考虑基坑围护体内外两侧土体抗剪强度作用是符合工程实际的，公式K_J因没有严密的理论推导过程，同时只考虑基坑内侧土体抗剪作用，不全面，其计算结果反而大于考虑基坑内外两侧抗剪作用的K_JJ式计算结果，明显不合理。所以，应以K_JJ式来评价随着支护体插入深度增大而带来的抗隆起稳定性增加。这样，建议按K_b计算式验算抗隆起稳定性时，一级、二级、三级基坑可分别按1.35，1.25，1.15标准取值；按K_JJ计算式验算抗隆起稳定性时，一级、二级、三级基坑可分别按1.45，1.35，1.25标准取值。

表  5  浙江地区基坑抗隆起稳定系数不同公式计算结果

Table  5.  Calculation results of different formulas for stability coefficient of foundation pit against uplift in the Zhejiang area

序号	项目名称	开挖深度/m	插入深度/m	土体力学参数			安全系数
				c/kPa	φ/（°）		Kb	KJ	KJJ	KL
1	湖州憩园小区	4.95	11.40	9.50	6.60		1.41	1.78	1.55	1.45
2	乐清丽都华府	5.00	12.00	11.00	6.80		1.48	1.91	1.64	1.49
3	华联万豪酒店	11.60	8.90	5.00	19.00		2.57	2.70	2.80	2.28
4	乐清长途车站	5.80	13.90	10.00	7.00		1.46	1.86	1.61	1.47
5	乐清游泳馆	5.10	11.70	10.00	7.00		1.46	1.86	1.62	1.48
6	北仑人民医院	4.30	8.50	9.50	9.20		1.72	2.07	1.92	1.66
7	绍兴嘉悦广场	6.25	12.30	10.00	6.00		1.27	1.65	1.40	1.36
8	杭州杨家村安置房	7.00	10.00	16.00	8.70		1.62	2.15	1.82	1.61
9	绿都湖滨花园	6.05	12.20	11.00	7.90		1.53	1.95	1.70	1.53
10	温州广化路C地块	7.60	15.20	10.00	8.00		1.49	1.88	1.64	1.50
11	温州皇家酒店	8.35	14.20	10.00	7.00		1.31	1.67	1.44	1.39
12	温州广化路A地块	6.50	13.00	10.00	9.00		1.65	2.03	1.82	1.60
13	杭政储出（2007）3号地块	7.00	14.00	16.10	6.30		1.42	2.03	1.58	1.46
14	万坤西溪	4.85	7.50	8.00	10.00		1.67	1.93	1.85	1.63
15	镇海传化物流信息港	8.80	11.50	17.50	10.50		1.81	2.37	2.02	1.74
16	宁波万达广场	11.00	16.50	14.00	12.00		1.98	2.47	2.19	1.84
备注：表中所有项目土层重度γ均取16.5 kN/m3；带下划线的数值不满足规范要求。

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5.   结论及建议

（1）开挖卸荷条件下的基坑抗隆起稳定性验算与在竖向荷载作用下的地基极限承载力计算是有本质区别的，差异主要体现在基坑支护体墙底以上内外两侧土体抗剪强度对基坑抗隆起起到有利作用。简单套用Prandtl计算式推导的力学模型和荷载边界条件，降低了基坑墙底抗隆起安全性，带来设计保守和经济浪费。

（2）目前，改进算法中临界宽度法与Prandtl计算式计算结果相近；本文中式（3）改进计算式推导过程不严密，计算结果不合理；本文提出的改进计算式（4），是在Prandtl计算式推导基础上加以改进的，区别于地基承载力计算的不同之处是考虑了基坑支护体内外两侧土体的抗剪作用，计算结果与实际相符。

（3）通过敏感度分析，影响基坑抗隆起稳定安全系数的首要因素是软土的内摩擦角，4个计算公式均表现一致；基坑挖深和支护体插入深度是主要影响因素，土层黏聚力是次要影响因素；土层重度对所有公式计算结果均影响不大，可忽略其影响。

（4）通过对浙江软土地区16项基坑工程实例分析，发现目前规范对基坑墙底抗隆起验算的标准取值偏高。建议如按K_b计算式验算抗隆起稳定性时，一级、二级、三级基坑可分别按1.35，1.25，1.15标准取值；如按K_JJ计算式验算抗隆起稳定性时，一级、二级、三级基坑可分别按1.45，1.35，1.25标准取值。此建议有待在软土地区基坑工程实践中加以验证。

（5）建议在修订规范时，明确验算抗隆起稳定性K_b时强度指标取值要求。