由于长期地质作用及人类工程活动影响，岩体内存在大量的节理、裂隙（这里统称为裂隙）等不连续结构面。众多试验、理论及数值模拟研究均表明裂隙的存在将劣化岩体力学特性，如强度、刚度等^[1-3]，并对边坡、隧道等岩体工程的变形及稳定性产生重要影响^[4-5]，因而引起国内外研究者的广泛关注。

由于单裂隙岩体是开展裂隙对岩体力学特性影响研究的基础，因此很多学者都对含单条断续裂隙的岩体压缩力学特性进行了试验研究^[6-8]，发现试件强度及弹性模量均随裂隙倾角（这里指裂隙面法向方向与压缩荷载作用方向之间的夹角）由0°~90°呈开口向上的类抛物线变化。但是目前的理论预测结果与实测值在某些情况下仍存在较大误差^[2]，如当裂隙倾角小于裂隙面摩擦角时，尤其是当裂隙倾角为0°时，二者误差最大。这是因为理论研究认为当裂隙倾角小于裂隙面摩擦角时，裂隙试件的抗压强度与相应的完整试件相同^[2]；而试验结果却表明^[8]，无论是试件的抗压强度还是弹性模量，均与完整试件相差较大。相反，当裂隙倾角为90°时，裂隙试件的抗压强度或弹性模量与相应完整试件较为接近。这说明目前的裂隙岩体力学模型仍需进一步改进，为此本研究以Liu等^[2]建立的断续裂隙岩体损伤模型为基础，结合压剪应力下裂隙面的变形特征及裂隙尖端起裂机理，对其进行改进，以计算单轴压缩下断续裂隙对岩体造成的初始损伤，进而对断续裂隙岩体的弹性模量及损伤进行预测，并与试验结果进行对比以说明该方法的合理性。

1.   断续裂隙岩体压缩损伤模型研究现状及存在问题

由于岩体内的裂隙多属于三、四级结构面，具有数量多和随机分布的特点，为此不少学者引入损伤力学描述裂隙对岩体力学特性的影响^[9-10]。它将裂隙视为岩体的一种天然缺陷（即损伤），认为裂隙存在将导致岩体强度降低、柔度增加，由此引入损伤张量定义裂隙对岩体造成的损伤。损伤张量的定义方法主要分为3类。

（1）裂隙几何损伤张量定义法：如Kawamoto等^[9]和Swoboda等^[11]采用裂隙密度、迹长或表面积、法向矢量等几何参数表示的二阶损伤张量。该方法认为裂隙对岩体造成的损伤由裂隙几何参数决定，与其力学参数无关，因此该方法仅适用于描述拉伸而非压缩下的岩体损伤。因为在压缩荷载下，裂隙面将闭合，其闭合及摩擦效应必将阻碍岩体破坏，进而提高其强度。

（2）裂隙几何及强度参数的损伤张量定义法：Liu等^[2]、陈文玲等^[10]、Li等^[12]针对几何损伤张量定义中未考虑裂隙强度参数的不足，基于损伤和断裂力学中的能量原理提出了同时考虑裂隙几何参数（如裂隙长度、倾角、条数等）和强度参数（如裂隙面摩擦角等）的损伤张量定义方法，很好地同时考虑了裂隙强度及几何参数对岩体力学特性的影响。然而由于该方法是以裂隙面上的有效剪应力是否大于0来判断其对岩体造成的损伤，因此当裂隙倾角小于裂隙面摩擦角时（忽略裂隙面黏聚力的影响），如裂隙倾角为0°时，裂隙对岩体造成的损伤为0，即此时裂隙试件的强度及弹性模量与完整岩石相同。易婷等^[7]对标准圆柱形试件（图1）进行单轴压缩试验，在试件中心制作一条长为15 mm的裂隙，裂隙倾角分别取为0°、15°、30°、45°、60°、75°、90°。这里基于Lemaitre应变等效假设用试件单轴压缩弹性模量定义其在压缩方向上的损伤值（D）^[13]：

图  1  裂隙试件弹性模量及损伤随裂隙倾角变化规律

Figure  1.  Variation of the sample elastic modulus and damage with the crack dip angle

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式中：E_c——裂隙试件弹性模量/MPa；

E₀——完整试件弹性模量/MPa。

由图1可知，E_c随裂隙倾角的变化而变化，其中裂隙倾角为0°时，E_c为4.31 MPa，远小于E₀（4.98 MPa），而当裂隙倾角为90°时，E_c为4.78 MPa，与相应完整试件的E₀较为接近。但是按照有关学者的损伤变量定义方法^{[2，10，12]}，裂隙倾角为0°和90°试件的E_c均应与E₀相等。因此，考虑裂隙几何及强度参数的损伤张量定义法仍不能很好地反映裂隙对岩体的损伤特性。

（3）裂隙几何、强度及变形参数损伤张量定义法：刘红岩等^[14]针对试件裂隙面在压缩过程中还会产生一定的闭合及剪切滑移变形的情况，认为应同时考虑裂隙变形参数（如法向及切向刚度）对试件力学特性的影响，由此提出了同时考虑裂隙几何、强度及变形参数的损伤张量计算方法，全面考虑了裂隙性质对岩体力学特性的影响。

尽管刘红岩等^[14]提出的损伤张量计算方法全面考虑了裂隙3类参数的共同影响，但仍存在3个方面的问题。①关于压剪裂隙尖端应力强度因子的计算，尤其是第一应力强度因子（K_Ⅰ）的计算仍存在较大分歧。因为断续裂隙在压缩荷载下往往首先在裂隙尖端出现应力集中，进而出现翼裂纹的起裂和扩展，最终导致岩体破坏。因此在损伤张量的计算中必须考虑裂隙尖端的应力强度因子。经典断裂力学主要研究拉剪裂隙尖端应力强度因子的计算方法，对岩体工程中常见的压剪裂隙研究较少，导致目前对压剪裂隙尖端K_Ⅰ的计算存在诸多争议。第一种观点认为在压缩荷载下裂隙面闭合，由于物质的不可侵入性，裂隙尖端Ⅰ型应力分量的奇异性将不复存在，因而K_Ⅰ=0，如李世愚等^[15]；同时很多学者^[16-17]采用复变函数方法，经过严格理论推导，也得到同样的结论。第二种观点认为压剪裂隙尖端的K_Ⅰ可取为负值，即将对应的拉伸状态下的K_Ⅰ取负值即可。如周群力^[18]认为法向压应力引起的负K_Ⅰ对压剪裂隙的剪切滑移破坏有遏制作用，所以应该予以考虑，并由此提出了相应的压剪断裂准则。因此采用何种理论对裂隙尖端的K_Ⅰ进行计算仍是亟待解决的一个理论难题。②该计算方法虽然考虑了裂隙的法向及切向刚度，但是其认为二者为定值，即不随裂隙面上法向及切向应力的变化而变化。然而王芝银等^[19]和Bandis等^[20]的研究均认为裂隙法向和切向刚度与裂隙面上的法向压应力是成正比的，即二者随着法向压应力的增加而增加。因此，裂隙变形参数不应取为定值，而应为裂隙面上法向压应力的函数。③该计算方法认为压剪裂隙面上的有效剪应力仅对裂隙尖端Ⅱ型应力强度因子（K_Ⅱ）有贡献，然而Liu等^[21]认为裂隙面上的有效剪应力还将对裂隙尖端的K_Ⅰ有贡献，而目前绝大多数研究均忽略了这一点。

为此，本研究在前人研究基础上，对断续裂隙岩体在单轴压缩下的力学特性进行研究，针对上述3个问题，以含单条断续裂隙的岩体为例，对前人提出的岩体损伤变量计算方法进行改进，进而提出考虑裂隙变形参数的岩体单轴压缩损伤模型，并由此估算其单轴压缩弹性模量及损伤。

2.   断续裂隙岩体单轴压缩损伤模型

2.1   断续裂隙造成的岩体损伤变量计算

以单轴压缩下含单条断续裂隙的岩体（图2）为例进行研究，裂隙长为2a、倾角为α，E、υ分别为相应完整岩石的弹性模量及泊松比。平面应力条件下，该裂隙对岩体造成的垂直方向上的损伤（D_v）为^[12]：

图  2  含单条中心斜裂隙的岩体

Figure  2.  Rockmass with one central inclined crack

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式中：D_v——裂隙对岩体造成的垂直向的损伤；

σ——作用于岩体的垂直应力/MPa；

K_Ⅰ——裂隙尖端Ⅰ型应力强度因子/（MPa∙m^1/2）；

K_Ⅱ——裂隙尖端Ⅱ型应力强度因子/（MPa∙m^1/2）；

V——岩石试件的体积/m³；

A——裂隙表面积/m²，对于单个中心裂隙，A=2Ba；

a——裂隙半长/m；

B——裂隙深度/m。

如前所述，周群力^[18]提出应考虑法向压应力引起的负K_Ⅰ对压剪裂隙剪切滑移破坏的遏制作用，这是因为其通过试验发现随着法向应力的增加，裂隙面上的摩阻力随之呈非线性增加，且表现为裂隙面上的摩擦力和啃断效应产生的阻力之和。而以往研究大多仅考虑了裂隙面上的摩擦力，且认为摩擦系数不变^{[2，10，12-13]}，显然这与实际情况存在较大误差。因此，本文采用周群力^[18]的观点，考虑负K_Ⅰ对岩体压剪破坏的影响。但是按照该观点，拉伸和压缩下的K_Ⅰ仅符号不同，而由式（2）可知，2种情况下的损伤是相同的，即拉伸和压缩条件下，裂隙对岩体造成的初始损伤是相同的。余贤斌等^[22]通过试验发现，岩石的压缩弹性模量总是大于拉伸弹性模量，二者之比大多为1～2；Jeager等^[23]更是断言，大多数岩石的拉伸弹性模量都小于其压缩弹性模量。由此可认为同样的裂隙对岩体在拉伸和压缩2种情况下造成的损伤则是不同的。为此，本研究根据压缩下裂隙面的受力及变形特征，考虑裂隙面有效剪应力对裂隙尖端受力特征的影响，并通过引入裂隙面传压及传剪系数以考虑拉、压损伤的不同。

2.2   断续裂隙尖端应力强度因子

对于完整岩石，在倾角为α的斜面上，其正应力（$\sigma _{{\alpha}} '$）和剪应力（$\tau _{{\alpha}} '$）分别为：

而对于含有1条倾角为α、长度为2a的断续裂隙岩体，由于裂隙的力学性质远低于相应的完整岩石，因此该面上的正应力和剪应力将明显受控于裂隙的力学性质。此时裂隙面上的正应力（σ_α）和剪应力（τ_α）分别为：

式中：C_n——裂隙面传压系数^[21]，${C_{\text{n}}} = \dfrac{{{\text{π}} a}}{{{\text{π}} a + \dfrac{E}{{\left( {1 - {v^2}} \right){k_{\text{n}}}}}}}$；

C_t——裂隙面传剪系数^[21]，${C_{\text{t}}} = \dfrac{{{\text{π}} a}}{{{\text{π}} a + \dfrac{E}{{\left( {1 - {v^2}} \right){k_{\text{s}}}}}}}$；

k_n——裂隙法向刚度/（MPa·m⁻¹）；

k_s——裂隙切向刚度/（MPa·m⁻¹）。

当a=0时，即岩体中不含裂隙，为完整岩石时，那么C_n=C_t=0，此时式（4）即为式（3）。

下面首先计算σ_α在裂隙尖端产生的应力强度因子。根据周群力^[18]的观点，σ_α将在裂隙尖端垂直于裂隙面的方向上产生第一应力强度因子，这里记为${K _{\text {Ⅰ 1}}}$，其计算公式为：

其次，研究τ_α产生的裂隙尖端应力强度因子。若设裂隙面摩擦角为$\varphi$，则裂隙面摩擦系数$\mu = \tan \varphi$。忽略裂隙面黏聚力，那么可得如图2所示的裂隙面上的有效剪应力（τ_eff）为：

由于裂隙面上的正应力垂直于裂隙面，因此其不会使岩体在裂隙面产生剪切滑动，所以其不会在裂隙尖端产生K_Ⅱ。而由于裂隙面上的剪应力平行于裂隙面，因此当τ_eff>0时，其将会使岩体沿裂隙面产生剪切滑移，进而在裂隙尖端产生K_Ⅱ^{[2, 10, 14-18]}，其计算公式为：

然而当τ_eff>0时，由于裂隙面剪切滑移，将同时在裂隙尖端出现拉应力，进而产生张拉破坏，这也是目前裂隙尖端常出现的破坏形式。由此很多学者^[16-17]引入最大周向拉应力准则来判断翼裂隙的起裂。在剪切应力作用下，裂隙尖端将出现拉应力，进而将在裂隙尖端产生第一应力强度因子，这里记为K_Ⅰ2，这是目前绝大多数学者都忽略的问题。基于上述观点，Liu等^[21]给出了${K _{\text {Ⅰ 2}}}$计算公式：

其方向沿着最大拉应力方向，通常与原裂隙走向呈70.5°。由此可知${K _{\text {Ⅰ 1}}}$、${K _{\text {Ⅰ 2}}}$的方向不同，所以二者不能简单叠加。由于式（2）是基于能量方法得到的，无需考虑应力强度因子的方向，所以式（2）可表示为：

将式（5）（7）（8）代入式（9）即可得：

进而通过将式（10）求出的损伤变量进行张量化即可得到相应的损伤张量^[9]。由于本文仅考虑垂直方向上的损伤，不再对其张量化。因此由该方法求出的损伤变量同时考虑了裂隙的3类参数，即几何参数、强度参数和变形参数的共同影响，因而也更符合实际情况。但是由于裂隙变形参数的引入，导致式（10）无法求得解析解，这里采用Matlab软件求其数值解。同时需要说明的是式（10）中的裂隙法向及切向刚度k_n、k_s并非定值，而是随着裂隙面上应力的变化而变化，这也是与刘红岩等^[14]提出的损伤变量计算方法的一个不同之处。

2.3   裂隙变形参数的选取

如前所述，本研究的一个重要创新点就是引入裂隙变形参数k_n、k_s以考虑其对岩体力学特性的影响。而它最早是由Goodman等^[24]、Bandis等^[20]提出并用来描述法（切）向应力与其相应位移之间的关系，由图3可将k_n、k_s定义为：

图  3  裂隙面法向及切向位移曲线

Figure  3.  Normal and shear displacement of the crack

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可以看出二者随载荷应力水平及裂隙面的变形会有较大变化，而非定值，这一方面与荷载应力水平有关，另一方面则与裂隙面性质如起伏度、充填及闭合等有关。Barton等^[25]的研究还发现k_n、k_s具有明显的尺寸效应，尺寸越小，其值就越大。因此k_n、k_s的取值范围也较大，约从0.1 MPa/m到1 000 GPa/m不等，在实际工程中也难以准确测定，因此往往根据经验选取。

3.   算例分析

3.1   试验概况

以易婷等^[7]的试验为例进行研究，试验采用质量比为1∶1∶0.4的石英砂∶水泥∶水的混合物配制类岩石材料，将其制成标准圆柱形试件（直径50 mm、长度100 mm），在试件初凝前拔出预埋的铝合金薄钢片（长×宽×高=200 mm×15 mm×2 mm），在试件中心制作一条长为15 mm的裂隙，裂隙倾角分别取为0°、15°、30°、45°、60°、75°、90°（图1）。将试件静置24 h成型后放入养护室养护14 d，而后进行单轴压缩试验。采用MTS8150电液伺服控制试验机以0.02 mm/s的速率对试件进行匀速加载。测得完整岩石的单轴抗压强度和弹性模量分别为28.99 MPa、4.98 GPa。裂隙试件的弹性模量及损伤如图1。根据经验取岩石泊松比为0.3，忽略裂隙摩擦角。

3.2   计算结果及分析

由于本文的一个重要创新点是在岩体损伤计算中引入了裂隙变形参数，下面重点讨论其取值方法。如前所述，由于裂隙法向及切向刚度与其受到的法向压应力密切相关，因此其不能取为定值。同时由于其随法向压应力的变化规律比较复杂，很难得到一个统一的理论公式，大部分情况下只能通过试验获得其经验公式。为此，本文给出裂隙法向及切向刚度选取的2条原则：①法向及切向刚度的取值应符合图3所示规律，即裂隙法向刚度随着裂隙面上法向应力的增加而增加，而其切向刚度的变化规律则较为复杂。因此，当裂隙倾角为0°时，试件峰值强度高，且裂隙面上的应力全部为法向应力分量，而没有切向应力分量，此时裂隙法向刚度应取大值，同时由于没有切向应力分量，所以切向刚度对计算结果没有影响。随着裂隙倾角的增加，裂隙面法向应力越来越小，相应地其法向刚度也随之降低。②在符合上述总体规律的前提下，裂隙刚度取值仍存在一定范围，此时以使岩体损伤计算值与试验值的误差最小为标准，选取裂隙刚度值。基于上述2条原则，通过试算，对不同裂隙倾角的试件，其法向与切向刚度的取值如表1。

表  1  不同倾角时的试件裂隙变形参数k_n、k_s

Table  1.  Crack deformation parameters k_n and k_s for the samples with different crack dip angles

α/（°）	0	15	30	45	60	75	90
kn/（GPa∙m−1）	1.95	1.85	1.55	1.3	1.0	0.1	/
ks/（GPa∙m−1）	/	1.5	1.6	2.0	1.55	0.001	/
注：“/”表示可取任意值。

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根据表1中的裂隙刚度和其他材料参数，由式（10）可计算得到单轴压缩下裂隙试件的损伤值，进而由式（1）计算得到裂隙试件的单轴压缩弹性模量，二者随裂隙倾角变化规律如图4所示。为了进行对比说明，同时给出未考虑裂隙变形参数的Li模型^[12]和虽然考虑了裂隙变形参数，但是其认为裂隙变形参数为定值的刘红岩模型^[14]的计算结果，其中刘红岩模型^[14]中的裂隙刚度取值参考表1，均取为1.5 GPa/m，其计算结果如图4所示。这里需要说明的是采用上述2个模型计算时，均认为K_Ⅰ可取负值。

图  4  岩体单轴压缩弹性模量及损伤计算值与实测值对比

Figure  4.  Comparison of the calculation results with the test ones of the rockmass elastic modulus and damage under uniaxial compression

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由图4可知，当裂隙倾角为0°时，本文模型计算得到的弹性模量4.306 MPa与实测弹性模量4.310 MPa几乎相等；而Li模型^[12]和刘红岩模型^[14]计算出的弹性模量分别为4.65 MPa和4.21 MPa，误差分别为7.89%和−2.32%，与实测结果相差较大。这是因为当裂隙倾角为0°时，由式（2）计算出的试件损伤较小，即含水平断续裂隙试件与完整试件的弹性模量比较接近，而绝大多数试验结果^[7-8]均表明前者小于后者，这说明Li等^[12]提出的损伤变量计算公式存在一定缺陷：当不考虑裂隙法向及切向刚度时，就无法考虑垂直压应力下由于裂隙闭合而产生的不均匀变形以及裂隙尖端出现的应力集中。试验测试结果表明^[8]，在垂直压应力下，往往会在裂隙尖端首先出现破坏，并产生张拉翼裂纹。而本文提出的压缩损伤变量计算方法由于引入了裂隙变形参数，因而能够很好地考虑由于裂隙闭合及滑移变形而导致的裂隙尖端拉应力，所以计算结果更接近实测值。刘红岩模型^[14]也考虑了裂隙变形参数的影响，其计算误差小于相应的Li模型^[12]，这说明考虑裂隙变形参数仍是十分必要的；但是其认为裂隙变形参数为定值，不随应力而变化，由图3可知，这显然不合理，因此其计算结果与实测值仍存在一定误差。总之，本文模型的一个重要优点是通过引入裂隙变形参数且不再将其视为定值，这使得本文模型对裂隙岩体单轴压缩弹性模量的预测更符合实际情况，尤其是当裂隙倾角为0°时。

当裂隙倾角为0°～90°时，可以通过调整裂隙法向及切向刚度以获得与试验值较为接近的计算结果，这也是本文模型的一个优势。当裂隙倾角为90°时，此时裂隙面上既无正应力，也无剪应力，因而从理论上来说，其损伤值为0，从试验结果来看，即弹性模量与完整试件的弹性模量也较为接近，误差仅为4.02%，这可能是由于试验误差或本文模型缺陷所导致。由表1可知，当裂隙变形参数较大时，试件损伤较小，即裂隙变形参数的增加可以提高岩体强度和弹性模量，这与Prudencio等^[26]的研究结论一致。在试算过程中还发现，尽管裂隙变形参数对岩体力学特性有一定影响，但是其影响不是很明显，尤其是当裂隙变形参数减小到一定程度后，其对损伤几乎没有影响。从损伤计算结果来看，本文模型得出裂隙倾角为30°时，试件损伤最大，而Li模型^[12]和刘红岩模型^[14]则认为当裂隙倾角分别为0°和15°时，试件损伤最大，而实测结果则表明当裂隙倾角为30°时，试件损伤最大，这与本文模型结果计算比较一致。因此，这也说明了本文模型的合理性。

4.   结论

（1）在前人提出的断续裂隙岩体单轴压缩损伤模型的基础上，对其进行了3方面改进，即：不再将裂隙变形参数（如法向及切向刚度）视为定值、考虑了裂隙面上法向正应力产生的负K_Ⅰ、考虑了裂隙面上有效剪应力产生的K_Ⅰ。通过上述改进，提出了更加符合实际情况的断续裂隙岩体单轴压缩损伤模型，进而更好地实现了对断续裂隙岩体压缩弹性模量及损伤的预测。

（2）算例分析表明由本文模型预测的断续裂隙岩体单轴压缩弹性模量及损伤更符合试验结果，说明了本文模型的合理性。尤其是当裂隙倾角较小时，由于裂隙变形参数的引入，该模型很好地弥补了现有模型的缺点，提高了弹性模量及损伤的预测精度。