Prediction of the maximum ground settlement caused by shield tunneling based on the improved limit learning machine model
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摘要: 城市地铁盾构施工引发的地面过大变形会严重影响周边构筑物的正常使用，甚至引发工程事故。针对传统预测方法中的数据维度过大容易导致精度降低、计算复杂等问题，提出了一种基于主成分分析（principal component analysis，PCA）算法和哈里斯鹰优化（Harris Hawks optimization，HHO）算法的极限学习机（extreme learning machine，ELM）预测模型。在地质、几何及盾构参数中初选14个影响因子，利用PCA算法在14维数组中分离和提取5个主成分变量作为模型的输入，利用HHO优化ELM模型的输入层权值和隐含层阈值参数，得到预测模型的最优解。以昆明轨道交通五号线怡心桥站—广福路站隧道区间监测数据进行仿真验证，并将该模型与BP神经网络、RBF、未优化的ELM模型进行对比分析。结果表明：PCA-HHO-ELM预测模型的均方根误差为0.143 5、平均绝对误差为0.026 2、决定系数为0.959 6，相较于其他模型，该模型具有更优的预测性能；与未优化的ELM模型相比，HHO算法能够提高ELM模型的预测精度和泛化能力。PCA-HHO-ELM模型能可靠预测盾构诱发的地表最大沉降，可为类似变形预测提供一种更为可行的新思路。Abstract: Excessive ground deformation caused by shield tunneling of urban metro will seriously affect the normal use of surrounding structures, and even cause engineering accidents. In view of the problems that the data dimension in traditional prediction methods is too large, which easily leads to lower accuracy and complex calculation, this study proposes an extreme learning machine (ELM) prediction model based on the principal component analysis (PCA) algorithm and Harris Hawk optimization algorithm (HHO). Ten influence factors are preliminarily selected from the geological, geometric and shield parameters. PCA is used to separate and extract five principal component variables from the 10 dimensional arrays as the input of the model. HHO is used to optimize the input layer weights and hidden layer threshold parameters of the ELM model, and the optimal solution of the prediction model is obtained. The monitoring data of the Yiguang section of Kunming Rail Transit Line 5 are used for simulation verification, and the model is compared with the BP neural network, RBF and non-optimized ELM model. The results show that the root mean square error of the PCA-HHO-ELM prediction model is 0.1435, the average absolute error is 0.0262, and the determination coefficient R2 is 0.9596. Compared with other models, this model has better prediction performance. Compared with the non-optimized ELM, HHO can improve the prediction accuracy and generalization ability of ELM. The PCA-HHO-ELM model can reliably predict the maximum ground settlement induced by shield, and can provide a more feasible new idea for similar deformation prediction.
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盾构法因其施工速度快、适应性强、环境污染小等优点，已成为目前城市轨道交通的主要施工方法[1 − 3]。但盾构机在掘进过程中会对周围土体产生附加载荷，不可避免地扰动周围土体，进而诱发地表沉降，如果局部地表沉降过大，将严重影响周围结构的正常使用，甚至引发工程事故。所以，研究各类诱发因素与地表沉降间的关系，减小掘进过程带来的地表沉降已然成为隧道施工的重中之重。当前，针对盾构隧道施工引起地面沉降这一岩土工程问题，众多学者进行了深入研究，较有代表性的研究方法有理论法[4 − 7]、经验公式法[8 − 9]、数值模拟[10 − 14]等。但是严格来讲，上述研究方法均属于传统理论范畴，在参数选取及解决非线性问题等方面均具有很大局限性。
为解决掘进断面的地质条件、施工过程中产生的各类新参数以及持续时间的影响，近年来国内外学者提出了许多盾构隧道地表沉降预测的机器学习方法。如Zhang等[15]对比了误差反向传播（back propagaton，BP）、径向基函数（radial basis function，RBF）、广义回归神经网络（generalized regression netural network，GRNN）3种神经网络模型对隧道最大地面沉降的预测效果，提出了一种将土层力学特性与几何参数相结合的指标计算方法；赵楠等[16]选用粒子群优化（particle swarm optimization，PSO）算法和遗传算法（genetic algorithm，GA）对支持向量机参数进行优化处理，针对多步算法产生的较大偏差，结合实际工程，验证了融合长短时记忆（long short-term memory，LSTM）神经网络支持向量机模型的优越性；李建生等[17]结合Peck公式与遗传算法的相关优点，提出了一种用融合理论公式预测隧道地面沉降的智能学习方法。随着网络技术的发展，越来越多的新兴优化算法不断提出。Chen等[18]基于3种神经网络，提出了一种定义输入参数物理意义的改进指标，用于量化地质参数，提高了人工神经网络模型的预测精度；乔金丽等[19]采用变步长的方法构建BP网络模型，经广州地铁二号线实测沉降检验，其预测效果较好；Wang等[20]提出了基于小波核函数的平滑相关向量机，预测隧道开挖引起的地表沉降；陈仁鹏等[21]通过PSO算法确定了BP神经网络和随机森林算法的超优参数，提出了一种预测盾构隧道纵向及最大地表沉降的方法；宫思艺等[22]在XGBoost地层动态识别模型的基础上，利用盾构施工参数推断地层变化，提出基于BP-SVR的地面沉降预测融合模型；林荣安等[23]为提高由盾构施工引起的软硬不均地层地表沉降预测的准确性，建立基于粗糙集-支持向量回归的地表沉降预测模型；李洛宾等[24]研究处理盾构掘进的序列化数据时，发现循环神经网络的沉降预测结果优于BP神经网络。上述预测方法均取得了一定的效果，但数据维度过大导致精度低、模型学习速度慢、计算复杂，并且由于影响盾构施工地表沉降因素的复杂性、各类方法的缺陷性等问题，在实际应用中仍有一定的局限性。
极限学习机（extreme learning machine，ELM）是一种典型的单隐层前馈神经网络（single-hidden layer feed-forward netural network，SLFN）[25 − 26]，与BP神经网络等传统学习算法相比，ELM具有泛化性能好、学习速度快、预测精度高等优点[27]。但ELM模型输入层权值和隐含层阈值具有随机性，在不确定条件下可能导致模型预测精度降低。为解决这一问题，本文引入哈里斯鹰优化（Harris Hawks optimization，HHO）算法[28]对ELM中的权值和阈值参数进行优化，弥补ELM中存在的缺陷。针对上述预测方法中存在的数据维度过大、模型学习速度慢、精度低等问题，本文提出了结合主成分分析（principal component analysis，PCA）算法、HHO算法和ELM模型的盾构隧道地表最大沉降预测方法，并以昆明轨道交通五号线怡心桥站—广福路站隧道区间盾构掘进实测数据为例，通过仿真训练和对比分析验证模型的预测性能。
1. 工程背景
昆明轨道交通五号线怡心桥站—广福路站（以下简称“怡—广站”）隧道区间起点里程右DK11+911.523，终点里程右DK13+056.149，全长1 144.626 m。线路出怡心桥站后，沿滇池路西北侧敷设，绕避怡心桥、采莲桥桩基后回归滇池路下方，于滇池路广福路路口进入广福路站。本段线路设置曲线半径分别为350 m及1000 m的平面曲线。区间隧道埋深9.71～21.35 m，底板标高1867.08～1872.54 m，隧道洞径6.20 m，采用盾构法施工。研究数据取自怡—广站DK11+966.221—DK12+966.733区段，间隔5 m设置一个监测点，包含隧道轴线处地面沉降监测点位200个。模型所使用的数据集由输入参数和沉降值组成。ELM模型输入是序列形式，故输入值是由沉降监测点前后各2环（共4环）的数据组成，而ELM模型的输出只包括一环。
数据集中测量沉降值取掘进过程中记录数据的最大沉降值，模型的输入参数（A1—A14）包括：地质参数、几何参数、盾构参数3个部分。数据集数据统计信息如表1。
表 1 数据集数据统计信息表Table 1. Data set statistics table参数 最小值 最大值 地质参数 地下水位（A1）/m 1.50 1.92 浮密度（A2）/（g·cm–3） 0.54 0.77 压缩模量（A3）/MPa 3.37 4.42 泊松比（A4） 0.28 0.33 侧压力系数（A5） 0.49 0.59 几何参数 埋深（A6）/m 18.4 25.3 盾构参数 土压力（A7）/MPa 1.8 2.7 总推力（A8）/kN 8 760 16 280 掘进速度（A9）/（mm·min–1） 61 94 出土量（A10）/ m3 45.8 48.0 刀盘扭矩（A11）/（N·m） 1 200 2 275 拼装时间（A12）/h 0.35 0.85 注浆量（A13）/m3 3.60 4.40 注浆压力（A14）/bar 3.0 3.8 地表最大沉降/mm −15.69 10.44 地质参数：怡—广站区间盾构隧道穿越范围内的土层主要包括粉质黏土、粉砂、黏质粉土、泥炭质土。为综合反映各断面不同土质对沉降的影响，选取地下水位、浮密度、压缩模量、泊松比及侧压力系数作为地质参数。其中，浮密度为隧道上方平均加权浮密度，压缩模量、泊松比及侧压力系数取掌子面地层加权平均值。
几何参数：盾构掘进过程中对地面沉降产生影响的有隧道埋深、盾构机直径及盾尾间隙等。因盾构掘进中，其直径和盾尾间隙是常数，对模型训练没有影响，故仅考虑隧道埋深。
盾构参数：盾构掘进过程中，会产生大量包括盾构机姿态、注浆参数及刀盘状态在内的64项相关参数。结合文献[29]和实际施工过程，选取8项盾构参数作为输入：土压力、盾构总推力、掘进速度、出土量、刀盘扭矩、管片拼装时间、注浆量、注浆压力。
2. 机器学习模型
2.1 主成分分析算法（PCA）
PCA是一种常用的数据降维算法之一，其原理是在高维数组中分离和提取多个相互正交的特征变量，充分反映原始数据的差异性，在尽量减少原始指标信息损失的同时，减少待分析的指标[30 − 31]。PCA数据降维通过重构主成分因子表达式，将原始的N维特征映射到低维的K维特征（K<N）中，得到K个主成分变量。
设原始N个影响因子构成的N维特征向量 X=(x1,x2,⋯,xN)T，则X的协方差矩阵D(X)为：
D(X)=(cij)N×N=(c11c12⋯c1Nc21c22⋯c2N⋮⋮⋮⋮cN1cN2⋯cNN) (1) 式中：cij——N维特征构成的协方差因子。
通过QTD(X)Q变换得到D(X)特征值 {\boldsymbol{\lambda}} = \lambda_1,\lambda_2, \cdots , \lambda_N (\lambda_1 \geqslant \lambda_2 \geqslant \cdots \geqslant \lambda_N)，最后得到重构后的综合向量Z，其表达式为：
Z_i = {L_{1i}}{x_1} + {L_{2i}}{x_2} + \cdots + {L_{Ni}}{x_N} (2) 式中：L——特征值λ的正交特征向量，L=(Lij)。
为全面反映原始N维特征且不减少指标信息损失，一般取方差最大的前K（K<N）个变量作为主成分因子，且定义累计贡献率（即累计方差）大于或等于80%时为筛选出的K个主成分因子，将得到的K个主成分因子通过式（2）计算，即可得到重构后的Z1—ZK。
2.2 极限学习机（ELM）
SLFN大多采用梯度下降法迭代，容易导致模型训练慢、计算复杂等问题。与之相比，ELM模型的输入层权值和隐含层阈值具有随机性，模型收敛速度快，训练时只需设置隐含层神经元个数，便可通过迭代获得全局最优解，所以与传统SLFN相比，ELM模型的泛化性更好、学习速度更快。其网络拓扑结构如图1所示。
由图1知，ELM模型的输入层、隐含层及输出层之间全连接，分别有K、L和S个神经元节点。输入层的K个神经元节点，对应2.1节中的K个主成分变量；若模型用于分类问题，则S>1，若模型用于回归预测，则S=1。设Q个训练集输入矩阵X和输出矩阵Y分别为 {\boldsymbol{X}} = {\left( {{x_{i1}},{x_{i2}}, \cdots ,{x_{iK}}} \right)^{\rm{T}}} \in {{\boldsymbol{R}}_K} 、 {\boldsymbol{Y}} = {\left( {{y_{i1}},{y_{i2}}, \cdots ,{y_{iS}}} \right)^{\rm{T}}} \in {{\boldsymbol{R}}_S} ,假定任意小误差激活函数g（x），则网络输出矩阵Z为
{Z}_j = \sum\limits_{i = 1}^L {{{{\beta}} _i}g({{\boldsymbol{\omega}} _j} \cdot {{\boldsymbol{X}}_j} + {{{b}}_j})} ,j = 1,2, \cdots ,Q (3) 式中： {{\boldsymbol{\omega}} _i} = \left( {{\omega _{i1}},{\omega _{i2}}, \cdots ,{\omega _{iK}}} \right) ——输入层权值矩阵；
{\boldsymbol{\beta}} = \left( {\beta_1,\beta_2, \cdots ,\beta_S} \right) ——输出层权值矩阵；
{\boldsymbol{b}} = \left( {b_1,b_2, \cdots ,b_L} \right)——隐含层阈值矩阵。
若G为ELM的隐含层输出矩阵，则式（3）可简化为
{\boldsymbol{G \cdot \beta}} = {{\boldsymbol{Z}}^{\rm{T}}} (4) 当Q较大时，为减少计算量，L一般取小于Q的数，这时ELM的误差就可逼近一个无限小的值ε（ε>0），如式（5）所示。所以，当激活函数任意无限小且可微时，ELM参数就不再需要全部迭代调整，即当ω和b随机设定后，ELM就可直接运行且不再修改权值和阈值参数。综上，ELM模型的训练结果可等效为求解方程（6）的最小二乘解。
\sum\limits_{j = 1}^Q {\left\| {Z_j - Y_j} \right\|} = 0 (5) \mathop {\min }\limits_{\boldsymbol{\beta}} \left\| {{\boldsymbol{G \cdot \beta }}- {{\boldsymbol{Z}}^{\rm{T}}}} \right\| (6) 式（6）的解为：
\overline {\boldsymbol{\beta}} = {{\boldsymbol{G}}^ + } \cdot {{\boldsymbol{Z}}^{\rm{T}}} (7) 式中：G+——G的Moore-Penrose广义逆。
2.3 哈里斯鹰优化（HHO）算法
HHO算法是Heidari等[28]基于哈里斯鹰的捕食行为，于2019年提出的一种群算法，该算法需要调节的参数较少，具有较强的全局搜索能力。具体包括探索阶段、转换阶段及开发阶段，具体捕食行为如下。
2.3.1 探索阶段
在此阶段，哈里斯鹰处于侦察猎物状态，若未找到猎物，需不断按式（8）更新位置寻找猎物。
X(t + 1) = \left\{ \begin{split} &\left. {X_{\rm{rand}}(t) - r_1} \right|\left. {X_{\rm{rand}}(t) - 2r_2X(t)} \right|&q \geqslant 0.5 \\ &[X_{\rm{rabbit}}(t) - X_{\rm{m}}(t)] - r_3[lb + r_4(ub - lb)]&q < 0.5 \\ \end{split} \right. (8) 式中：r1、r2、r3、r4——[0,1]之间的随机数；
q——用于判定选择采用的策略；
ub、lb——搜索空间的上、下限；
Xrand(t) ——哈里斯鹰个体的随机位置；
Xrabbit(t)——猎物当前位置；
X(t)、X(t+1) ——当前和下一次更新时的个体位置；
Xm(t)——当前种群所有个体的平均位置，表达式为：
X_{\rm{m}}(t) = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {X_i(t)} (9) 式中：Xi(t)——种群中第i个个体的位置；
N——种群数量。
2.3.2 搜索与开发的转换阶段
在此阶段，猎物体能极大消耗，哈里斯鹰根据猎物的逃逸能量（C）调整自身位置，将全局搜索范围变为局部搜索，C按式（10）计算：
C = 2C_0\left(1 - \frac{t}{{M_{\text{a}}}}\right) (10) 式中：C0——猎物的初始能量，每次迭代时在[−1,1]中 随机自动更新；
Ma——最大迭代数；
t——当前迭代数。
当|C|≥1时，猎物逃逸能量高，猎物容易逃脱，则返回2.3.1的搜索阶段；当|C|<1时，猎物能量较低，则进入下一阶段。
2.3.3 开发阶段
在此阶段，哈里斯鹰通过4种策略对猎物进行围捕，其数学模型见式（11）—（17），设猎物的逃脱概率为r，当r<0.5时猎物逃脱，当r≥0.5时逃脱失败。
（1）软包围策略
X(t + 1) = \Delta X(t) - \left. E \right|JX_{\rm{rabbit}}(t) - \left. {X(t)} \right| (11) \Delta X(t) = X_{\rm{rabbit}}(t) - X(t) (12) 式中：J——猎物逃逸的跳跃距离，逃逸时在0～2之间随机选择；
ΔX——哈里斯鹰的最优个体与当前个体的差值；
E——猎物动态逃逸能量。
（2）硬包围策略
X(t + 1) = X_{\rm{rabbit}}(t) - \left. E \right|\left. {\Delta X(t)} \right| (13) （3）渐进式快速俯冲软包围策略
X(t + 1) = \left\{ \begin{gathered} Y\quad f(Y) < f(X(t)) \\ Z\quad f(Z) < f(X(t)) \\ \end{gathered} \right. (14) Y = X_{\rm{rabbit}}(t) - \left. E \right|JX_{\rm{rabbit}}(t) - \left. {X(t)} \right| (15) Z = Y + {\boldsymbol{S}} \cdot LF(D) (16) 式中：f()——适应度函数；
D——已知种群维度；
S——D维随机矩阵；
LF()——莱维（Levy）飞行函数。
（4）渐进式快速俯冲硬包围策略
Y = X_{\rm{rabbit}}(t) - \left. E \right|JX_{\rm{rabbit}}(t) - \left. {X_{\rm{m}}(t)} \right| (17) 2.4 PCA-HHO-ELM预测模型
由于ELM模型的输入层权值和隐含层阈值都是随机产生的，这些参数在不确定的情况下可能导致ELM模型预测精度降低或者模型产生过拟合现象，因此本文利用HHO算法对ELM模型的权值和阈值参数进行优化，寻求全局最优解，从而使ELM具有更好的学习和预测能力。基于以上原理，本文提出了一种集ELM、PCA、HHO于一体的混合人工智能模型。ELM用于构建盾构隧道地表最大沉降与其影响因素之间的关系；PCA用于数据降维，简化ELM网络拓扑结构；HHO用于优化ELM的权值和阈值参数。PCA-HHO-ELM模型的计算步骤如下，流程图如图2所示。
步骤1：对数据进行预处理，剔除非正常数据，利用PCA算法将数据降维，提取出K个主成分因子。
步骤2：为使数据具有代表性，将提出的主成分因子及地表最大沉降值随机排列，把数据分为训练集和测试集。
步骤3：对训练集及测试集归一化处理。
步骤4：利用HHO算法对ELM中的输入层权值和隐含层阈值参数进行优化，重构ELM模型。
步骤5：迭代更新适应度值及位置，将训练误差作为HHO适应度函数，判定是否满足终止条件，若满足则退出循环，输出寻优结果；否则，重复步骤5。
步骤6：将测试集输入优化后的ELM中，输出预测结果。
3. 模型建立
3.1 确定影响因子
由表1知，盾构隧道地表最大沉降的影响因素具有14维，属于高维数组，为避免模型学习速度慢、计算复杂、精度低等问题，现利用PCA算法对14维影响参数进行数据降维，设定累计贡献率大于80%的影响参数为主成分因子。运用Matlab编写程序代码，经多次试验分析，最终确定出了5个影响因子，其提取后的变量特征值与累计贡献率如图3所示。
由图3主成分提取变量结果可知，前5个成分的累计贡献率分别为36.661%、53.114%、66.596%、74.333%、81.510%，到第5成分时累计贡献率达到了81.510%，大于80%。因此，在尽量减少信息损失的同时，前5个成分能够较为全面地反映原始指标体系，即能够将初始的14维变量数据降至5维，并且由5个公因子表征出来。所得到的主成分系数矩阵如表2所示。
表 2 主成分系数矩阵Table 2. Principal component coefficient matrix影响因子 主成分 1 2 3 4 5 A1 0.897 0.023 0.086 0.077 0.052 A2 0.937 −0.077 0.043 0.041 0.051 A3 −0.228 0.586 0.376 −0.460 −0.163 A4 −0.271 −0.259 −0.724 0.340 0.105 A5 0.956 −0.068 −0.130 −0.007 −0.028 A6 0.376 0.335 0.365 0.492 0.315 A7 0.683 −0.093 −0.116 −0.520 0.060 A8 −0.078 0.310 0.425 −0.053 0.748 A9 −0.474 0.530 −0.582 0.019 0.216 A10 −0.227 0.867 −0.247 0.123 −0.128 A11 −0.809 −0.112 −0.056 −0.256 0.188 A12 −0.790 −0.464 0.277 −0.071 0.080 A13 −0.201 −0.636 0.046 0.019 0.247 A14 −0.445 −0.011 0.622 0.384 −0.365 根据表2主成分系数矩阵，赋予A1—A14相应权重，得到重构后Z1～Z5的表达式，如式（18）—（22）所示。
\begin{split} Z_1 &= 0.897A_1 + 0.937A_2 - 0.228A_3 - 0.271A_4 + 0.956A_5 \\ &+ 0.376A_6 + 0.683A_7 - 0.078A_8 - 0.474A_9 - 0.227A_{10} \\ &- 0.809A_{11} - 0.790A_{12} - 0.201A_{13} - 0.445A_{14} \end{split} (18) \begin{split} Z_2 &= 0.023A_1 - 0.077A_2 + 0.586A_3 - 0.259A_4 - 0.068A_5 \\ & + 0.335A_6 - 0.093A_7 + 0.310A_8 + 0.530A_9 + 0.867A_{10} \\ & - 0.112A_{11} - 0.464A_{12 }- 0.636A_{13} - 0.011A_{14} \\ \end{split} (19) \begin{split} Z_3 &= 0.086A_1 + 0.043A_2 + 0.376A_3 - 0.724A_4 - 0.130A_5 \\ & + 0.365A_6 - 0.116A_7 + 0.425A_8 - 0.582A_9 - 0.247A_{10} \\ & - 0.056A_{11} + 0.277A_{12} + 0.046A_{13} + 0.622A_{14} \end{split} (20) \begin{split} Z_4 &= 0.077A_1 + 0.041A_2 - 0.460A_3 + 0.340A_4 - 0.007A_5 \\ & + 0.492A_6 - 0.520A_7 - 0.053A_8 + 0.019A_9 + 0.123A_{10} \\ & - 0.256A_{11} - 0.071A_{12} + 0.019A_{13} + 0.384A_{14} \end{split} (21) \begin{split} Z_5 &= 0.052A_1 + 0.051A_2 - 0.163A_3 + 0.105A_4 - 0.028A_5 \\ & + 0.315A_6 + 0.060A_7 + 0.748A_8 + 0.216A_9 - 0.128A_{10} \\ & + 0.188A_{11} + 0.080A_{12} + 0.247A_{13} - 0.365A_{14} \end{split} (22) 3.2 数据归一化
由表1可知，数据集量纲不同，需对数据进行标准化处理，从而加快极限学习机模型的收敛，并在训练过程中防止梯度爆炸。标准化处理算法将重构的5维主成分变量和地表最大沉降数据进行线性变换使其值域在[−1,1]附近。计算过程如下：
\tilde x = \frac{{x - \mu }}{\sigma } (23) 式中：μ、σ——输入数据某一维度的最小值及标准差；
\tilde x ——标准化处理后的数据。
3.3 PCA-HHO-ELM模型参数
为避免连续监测点位之间沉降差异较小，导致训练集沉降范围具有局限性，现将200组经PCA算法降维的数据随机排列，前170组用于模型训练（即训练集），后30组用于模型性能测试（即测试集）。利用HHO算法对ELM的输入层权值和隐含层阈值参数进行寻优，将得到的最优结果作为ELM的最优参数，最大程度提高模型的预测性能。经反复试验，将HHO种群大小设为30，最大迭代次数设为100。
由前文知，Z1—Z5作为模型输入且用于回归预测（S=1），故ELM输入层神经元和输出层神经元分别5和1。选择Sigmoid函数作为激活函数g（x），如式（24）所示。由式（24）知g（x）无穷可微，满足激活函数定义。根据Kolomogorov定理，SLFN隐含层神经元不小于2K+1，即不小于11个。
g(x) = \frac{1}{{1 + {{\text{e}}^{ - x}}}} (24) 3.4 模型评价指标
为验证模型预测效果，选用平均绝对误差（MAE）、均方根误差（RMSE）和决定系数（R2）3个指标对模型进行评价。RMSE弥补了MSE与目标变量量纲不一致的缺陷，MAE避免了正负误差相抵消，R2用于评价模型与数据的相关性，R2的范围为[0,1]，R2值越大，模型拟合效果越好。具体公式如下：
RMS E = \sqrt {\frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {{{\left[ {h(x_i) - y_i} \right]}^2}} } (25) MAE = \left| {\frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^m {\left[ {h(x_i) - y_i} \right]} } \right| (26) {R^2} = 1 - \frac{{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^m {{{\left[ {y_i - h(x_i)} \right]}^2}} }}{{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^m {{{(y_i - \overline y )}^2}} }} (27) 式中：m——样本总数；
h(xi)——模型的预测沉降值；
yi——实测沉降值；
\overline y ——实测沉降数据的平均值。
4. 预测结果分析
4.1 模型预测性能分析
经反复试验，将隐含层节点数设为20，预测效果较好。在PCA-HHO-ELM模型仿真训练后，对30组测试样本进行测试，训练及测试结果如图4所示。
从图4（a）中可看出，训练集数据点基本分布在理想拟合直线附近，训练样本的R2为0.941 9、RMSE为0.154 0、MAE为0.011 8，这说明PCA-HHO-ELM模型的预测值与实测值基本一致，模型训练效果较好。从图4（b）中可看出，测试样本数据点同样集中分布于理想拟合直线附近，其R2为0.959 6、RMSE为0.1435、MAE为0.026 2，这说明PCA-HHO-ELM模型具有很好的学习与预测能力，能够有效预测盾构隧道地表最大沉降。
4.2 对比分析
为进一步验证PCA-HHO-ELM模型的泛化能力，在同等试验条件下将未优化的ELM模型、BP神经网络模型和RBF模型与PCA-HHO-ELM模型进行多次试验分析对比，对比结果如图5所示。
从图5预测曲线可知，4种预测模型的预测值与实测值整体上变化趋势一致，均能在一定程度上对盾构隧道地表最大沉降进行可靠预测，但在局部区域，PCA-HHO-ELM模型的预测结果较其他3种算法更接近地表沉降实测值，其预测值与实测值咬合得更加紧密。相较于RBF、ELM模型，BP神经网络模型同样具有较高的可靠性。将4类模型预测结果（表3）带入式（22）—（24），得到各模型的预测性能指标，其结果如表4所示。
表 3 4类模型预测结果Table 3. Prediction results of four types of models组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 实测值/mm 2.89 9.86 5.03 4.45 2.07 10.44 0.82 3.64 0.44 13.42 9.69 4.96 2.54 1.93 1.43 BP预测值/mm 1.62 −8.49 3.61 −8.92 −0.56 12.08 −0.97 3.51 0.12 −13.78 10.10 −3.74 2.53 2.24 0.70 RBF预测值/mm 5.04 0.49 2.12 2.00 −2.86 2.81 0.31 4.48 0.50 −11.03 5.07 −11.39 2.03 2.01 0.50 ELM预测值/mm −0.24 −6.17 4.21 0.11 −0.94 12.90 0.27 −0.51 −1.51 −11.13 11.95 −4.05 2.63 2.12 0.26 PCA-HHO-ELM预测值/mm 2.11 −7.83 4.93 −5.25 0.14 9.38 −1.90 7.34 −1.23 −12.66 12.93 −4.72 3.83 3.46 −0.82 组号 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 实测值/mm 0.01 6.33 5.22 14.19 13.74 1.14 4.17 5.31 1.61 0.08 9.90 1.24 10.84 2.24 12.35 BP预测值/mm −0.06 4.85 4.89 −14.13 −14.25 0.49 4.10 5.93 1.73 −0.05 −9.73 −0.01 −10.46 1.30 −11.83 RBF预测值/mm 0.50 3.59 2.56 −11.32 −7.45 0.50 4.47 5.07 0.50 0.50 −9.67 0.50 −8.02 0.58 −7.45 ELM预测值/mm −0.53 5.72 5.79 −11.76 −15.91 1.34 2.90 5.71 1.65 −0.58 −9.78 0.70 −8.43 −0.12 −14.09 PCA-HHO-ELM预测值/mm −1.33 6.50 6.89 −13.27 −14.07 2.16 4.35 2.43 4.00 −0.99 −9.01 0.13 −10.76 1.18 −12.41 表 4 模型性能评价结果Table 4. Performance evaluation results of the model评价指标 RMSE MAE R2 最大误差/mm 平均误差/mm PCA-HHO-ELM模型 0.143 5 0.026 2 0.959 6 3.70 1.29 BP预测模型 0.232 3 0.042 4 0.894 3 4.48 0.82 RBF模型 0.392 1 0.071 6 0.698 6 10.35 2.52 ELM预测模型 0.571 8 0.104 4 0.359 2 4.56 1.48 从表4中可看出，本文提出的PCA-HHO-ELM模型的5项评价指标基本优于其余3种预测模型，仅平均误差略大于BP模型，其RMSE与MAE分别为0.1435和0.0262，说明该模型更为接近实际沉降值且误差最小，R2高达0.959 6，说明预测值与实测值拟合效果较好，可靠性较高。4种模型的RMSE和MAE尽管都很小，但是ELM模型误差是本文模型的近4倍，经HHO优化后，PCA-HHO-ELM模型的单样本最大误差值和平均误差均小于未优化的ELM模型，决定系数也从0.3592提升至0.9596，其预测效果较好。综上所述，4类预测模型预测效果为：PCA-HHO-ELM模型>BP模型>RBF模型>ELM模型，HHO算法能够提高ELM的预测精度，PCA-HHO-ELM模型具有更强的泛化能力。
5. 结论
（1）利用PCA算法进行数据降维，在尽量减少信息损失的同时，将原始14维影响参数降至5维，根据主成分系数矩阵重构主成分变量，将得到的主成分变量作为模型输入，简化了ELM模型的网络拓扑结构，从而减少所需优化的权值和阈值个数。
（2）利用PCA-HHO-ELM模型进行盾构沉降预测，训练集及测试集数据点基本分布在理想拟合直线附近，模型预测效果较好。PCA-HHO-ELM预测模型的各项评价指标基本均优于BP神经网络模型、RBF模型和ELM模型。
（3）经HHO算法优化后，ELM模型精度显著提高，R2从0.3592提升至0.9596，其单样本最大误差和平均误差也得到相应改善。PCA-HHO-ELM模型在一定程度上提高了盾构沉降预测效果，使其具有更优的泛化性能，可为类似隧道工程提供一种更为可行的新思路。
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表 1 数据集数据统计信息表
Table 1 Data set statistics table
参数 最小值 最大值 地质参数 地下水位（A1）/m 1.50 1.92 浮密度（A2）/（g·cm–3） 0.54 0.77 压缩模量（A3）/MPa 3.37 4.42 泊松比（A4） 0.28 0.33 侧压力系数（A5） 0.49 0.59 几何参数 埋深（A6）/m 18.4 25.3 盾构参数 土压力（A7）/MPa 1.8 2.7 总推力（A8）/kN 8 760 16 280 掘进速度（A9）/（mm·min–1） 61 94 出土量（A10）/ m3 45.8 48.0 刀盘扭矩（A11）/（N·m） 1 200 2 275 拼装时间（A12）/h 0.35 0.85 注浆量（A13）/m3 3.60 4.40 注浆压力（A14）/bar 3.0 3.8 地表最大沉降/mm −15.69 10.44 
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表 2 主成分系数矩阵
Table 2 Principal component coefficient matrix
影响因子 主成分 1 2 3 4 5 A1 0.897 0.023 0.086 0.077 0.052 A2 0.937 −0.077 0.043 0.041 0.051 A3 −0.228 0.586 0.376 −0.460 −0.163 A4 −0.271 −0.259 −0.724 0.340 0.105 A5 0.956 −0.068 −0.130 −0.007 −0.028 A6 0.376 0.335 0.365 0.492 0.315 A7 0.683 −0.093 −0.116 −0.520 0.060 A8 −0.078 0.310 0.425 −0.053 0.748 A9 −0.474 0.530 −0.582 0.019 0.216 A10 −0.227 0.867 −0.247 0.123 −0.128 A11 −0.809 −0.112 −0.056 −0.256 0.188 A12 −0.790 −0.464 0.277 −0.071 0.080 A13 −0.201 −0.636 0.046 0.019 0.247 A14 −0.445 −0.011 0.622 0.384 −0.365
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表 3 4类模型预测结果
Table 3 Prediction results of four types of models
组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 实测值/mm 2.89 9.86 5.03 4.45 2.07 10.44 0.82 3.64 0.44 13.42 9.69 4.96 2.54 1.93 1.43 BP预测值/mm 1.62 −8.49 3.61 −8.92 −0.56 12.08 −0.97 3.51 0.12 −13.78 10.10 −3.74 2.53 2.24 0.70 RBF预测值/mm 5.04 0.49 2.12 2.00 −2.86 2.81 0.31 4.48 0.50 −11.03 5.07 −11.39 2.03 2.01 0.50 ELM预测值/mm −0.24 −6.17 4.21 0.11 −0.94 12.90 0.27 −0.51 −1.51 −11.13 11.95 −4.05 2.63 2.12 0.26 PCA-HHO-ELM预测值/mm 2.11 −7.83 4.93 −5.25 0.14 9.38 −1.90 7.34 −1.23 −12.66 12.93 −4.72 3.83 3.46 −0.82 组号 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 实测值/mm 0.01 6.33 5.22 14.19 13.74 1.14 4.17 5.31 1.61 0.08 9.90 1.24 10.84 2.24 12.35 BP预测值/mm −0.06 4.85 4.89 −14.13 −14.25 0.49 4.10 5.93 1.73 −0.05 −9.73 −0.01 −10.46 1.30 −11.83 RBF预测值/mm 0.50 3.59 2.56 −11.32 −7.45 0.50 4.47 5.07 0.50 0.50 −9.67 0.50 −8.02 0.58 −7.45 ELM预测值/mm −0.53 5.72 5.79 −11.76 −15.91 1.34 2.90 5.71 1.65 −0.58 −9.78 0.70 −8.43 −0.12 −14.09 PCA-HHO-ELM预测值/mm −1.33 6.50 6.89 −13.27 −14.07 2.16 4.35 2.43 4.00 −0.99 −9.01 0.13 −10.76 1.18 −12.41
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表 4 模型性能评价结果
Table 4 Performance evaluation results of the model
评价指标 RMSE MAE R2 最大误差/mm 平均误差/mm PCA-HHO-ELM模型 0.143 5 0.026 2 0.959 6 3.70 1.29 BP预测模型 0.232 3 0.042 4 0.894 3 4.48 0.82 RBF模型 0.392 1 0.071 6 0.698 6 10.35 2.52 ELM预测模型 0.571 8 0.104 4 0.359 2 4.56 1.48
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