多孔介质渗透率对于水资源管理、石油和天然气勘探开采、地质灾害评估以及环境科学等领域具有显著影响^{[1 − 3]}。了解和预测渗透率有助于优化资源利用、提高生产效率、减轻自然灾害风险、保护环境，并在工程领域中确保安全和可持续发展^{[4 − 5]}。

孔隙结构是影响多孔介质渗透率演化的内在因素，探究渗透率演化及其与孔隙结构关联性一直是渗透率研究领域的热点话题之一。国内外众多学者利用理论测试、实验研究和数值模拟探究了多孔介质渗透率与孔隙度、孔隙形状、孔隙尺寸和孔隙连通性等参数之间的关系。Joseph等^[6]制作了4种不同类型的片状多孔介质，每种片状多孔介质的孔隙率通过图像分析技术确定，绝对渗透率通过达西定律估计，结果发现随着片状多孔介质中孔隙和孔喉数量的增加，孔隙率如预期增加，渗透率增加了约一个数量级。王世芳等^[7]基于分形理论与技术研究了牛顿流体在多孔介质中的球向渗流问题，分析了多孔介质的微结构参数对球向渗透率的影响，结果表明球向渗透率随孔隙度的增加而增加。多孔介质的内部结构如孔径、孔隙形状等对多孔介质也有很大的影响。在孔隙度相同时，孔径成为影响多孔介质的因素之一。宋永臣等^[8]发现多孔介质的渗透率与孔隙度之间不存在线性关系，在相同孔隙度的情况下孔径越大多孔介质的渗透率越大。孔隙形状对多孔介质渗透率也有较大影响。谢颖颖^[9]利用多松弛格子Boltzmann模型研究孔隙尺度下非牛顿流体流动，且将微观结构理想化为圆形、方形和三角形组成的3种多孔介质形状，结果发现相同孔隙率下，多孔介质渗透率受到其微观结构排列的影响，其中方形排列相比圆形排列下的渗透率低，三角形排列最低。Torskaya等^[10]在新的沉积算法的基础上构建了4组晶粒堆，分别是通过显微CT扫描识别的精确角晶粒形状、拟合到角晶粒上的椭球体、体积比等于原始角晶粒的球体、表面积比等于原始角晶粒的球体，结果表明，绝对渗透率受颗粒形状变化影响很大，且其中的球体形状晶粒堆计算渗透率与基于Kozeny-Carman的预测渗透率非常吻合^[11]。此外，各向异性也是多孔介质渗透率大小的影响因素之一。李滔等^[12]发现孔隙尺度各向异性影响多孔介质中孔隙长轴的取向性及流体流动路径，沿各向异性因子大的方向迂曲度小、流体流动消耗能量小，迂曲度与各向异性的强相关是各向异性影响渗透率的根本原因。GAO等^[13]利用使用晶格玻尔兹曼法和X射线计算机断层扫描技术，仿真了2种多孔介质并计算其渗透率，模拟结果表明，对于气体扩散层其在1个方向上的渗透率可能比其他2个方向的渗透率高1个数量级。Clavaud等^[14]通过X射线层析成像监测测定了砂岩、石灰岩和火山岩的渗透率，结果表明对于砂岩，渗透率各向异性与层理相关性密切。除这些因素以外，孔喉也与渗透率密切相关。Lala等^[15]建立了一种储集层岩石孔喉半径与渗透率关系的模型，发现孔喉尺寸分布与渗透率有关，孔喉半径为35 μm时与渗透率相关最密切。整体而言，目前渗透率研究多通过间接的方式探究渗透率的影响因素，缺乏直观手段刻画多孔介质与渗透率的关系，渗透率与多孔介质内部孔隙结构的关系尚不清晰。

因此，本文自主设计了一个可控空间属性的多孔介质试验系统，探究了不同孔隙度、颗粒大小与排列方式对渗透率的影响关系，以期为多孔介质渗透率演化及其应用提供基础数据与有效参考。

1.   试验方法

1.1   试验装置

试验系统整体如图1所示。试验系统包括样品、光源、反应釜、热电偶、显微镜摄像头、注射泵、压力传感器、阀门等。样品模型如图1（b）所示，样品由2片49 mm × 24 mm × 2 mm的石英玻璃片组成，其中一片由激光镌刻机刻蚀成所需多孔介质模型，另一片在进出水口处设置半径1 mm，深度2 mm的圆柱形孔道充当水道，使用箱式炉烧制黏合石英玻璃片，样品面朝内。刻蚀的多孔介质模型长42 mm，宽12.7 mm，深0.75 mm，模拟多孔介质模型以及对应反应釜进出水口距离。反应釜由反应釜腔体、上法兰盖、下法兰盖、上压盖以及下底座组成。反应釜设置左右2个连接口，下底座上设置样品固定凹槽，样品通过螺栓固定在上压盖与下底座之间，在样品的进出水端对应的上压盖处设置橡胶垫片防止漏液。上压盖以及上下法兰盖中间部分镂空，用于观察多孔介质饱水情况和液体通过状况。热电偶温度范围为−20～260 °C，设置在反应釜顶端。显微镜摄像头由天诺翔公司生产，用于观察多孔介质饱水情况。注射泵采用融合4000-X注射泵。注射器泵是一种小型正排量泵，用于逐渐转移精确体积的流体。该注射泵输出流量范围为0.0001～170.5 mL/min，注射泵精度达到3.5%，工作温度范围为4～40 °C。压力传感器设置在反应釜进出口处并连接电脑，用于监测试验期间管线内压力。压力传感器为omega公司PX409-USBH型压力传感器，量程为0～1.72 MPa。

图  1  试验装置示意图、样品示意图以及样品俯视图

Figure  1.  Schematic diagram of experimental device and sample, and top view of the sample

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1.2   试验材料

本研究采用Auto CAD 2016随机方法生成了18组多孔介质样品，具有不同的孔隙率和颗粒排列方式。各样品编号及样品特征见表1。

表  1  样品特征及结构形态各向异性比

Table  1.  Sample characteristics and structural morphological anisotropy ratio

编号	样品特征	结构形态各向异性比
A1	规则竖排等轴长椭圆，孔隙度0.3（长短轴比2∶1）	0.6∶1.2=0.5
A2	规则竖排等轴长椭圆，孔隙度0.4（长短轴比2∶1）	0.6∶1.2=0.5
A3	规则竖排等轴长椭圆，孔隙度0.5（长短轴比2∶1）	0.6∶1.2=0.5
A4	规则横排等轴长椭圆，孔隙度0.3（长短轴比2∶1）	1.2∶0.6=2.0
A5	规则横排等轴长椭圆，孔隙度0.4（长短轴比2∶1）	1.2∶0.6=2.0
A6	规则横排等轴长椭圆，孔隙度0.5（长短轴比2∶1）	1.2∶0.6=2.0
A7	不规则排列竖排变轴长椭圆，孔隙度0.4（长短轴比2∶1）
A8	不规则排列横排变轴长椭圆，孔隙度0.4（长短轴比2∶1）
A9	不规则排列竖排等轴长椭圆，孔隙度0.4（长短轴比2∶1）
A10	不规则排列横排等轴长椭圆，孔隙度0.4（长短轴比2∶1）
A11	规则排列等径圆，孔隙度0.3	0.786∶0.786=1.0
A12	规则排列等径圆，孔隙度0.4	0.786∶0.786=1.0
A13	规则排列等径圆，孔隙度0.5	0.786∶0.786=1.0
A14	不规则排列等径圆，孔隙度0.3
A15	不规则排列等径圆，孔隙度0.4
A16	不规则排列等径圆，孔隙度0.5
A17	规则横排等轴长椭圆，孔隙度0.4（长短轴比3∶1）	1.47∶0.49=3.0
A18	规则竖排等轴长椭圆，孔隙度0.4（长短轴比3∶1）	0.49∶1.47=0.3

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多孔介质确定的孔隙度是将已知大小的黑色颗粒随机放置在白色方形图像中实现。为了复制多样化的油气储层条件，多孔介质样品的孔隙率范围设定在0.3～0.5之间，颗粒形状包括圆形和椭圆形。其中圆形孔隙直径为0.786 mm、0.393～0.786 mm，椭圆长轴为1.2 mm（长短轴比2∶1）、1.47 mm（长短轴比3∶1）、0.3～1.2 mm（长短轴比2∶1），以此模拟不同类型的多孔介质，如图2所示。本研究使用的多孔介质样品长42 mm，宽12.7 mm，各向异性比值为1.76∶1。椭圆颗粒多孔介质各向异性比值详见表1。

图  2  本试验设计的部分多孔介质试样图

Figure  2.  Porous medium sample designed in the experiment

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1.3   试验步骤

利用紫外激光打标机根据CAD 2016生成的多孔介质刻蚀玻璃试样，将注射泵、阀门、反应釜通过不锈钢管线顺次连接，将压力传感器接入电脑，打开压力检测软件，设置好量程，记录频率等数据，开始记录压力。待一切运行稳定后，打开注射泵，流量分别设置为2.5，5.0 mL/min，多孔介质试样两端压力稳定后记录两端压差。试验过程中，使用空调将整体温度控制在20 °C。

利用稳态法计算多孔介质渗透率时，首先需要确定流体流动状态是否为层流，计算流体雷诺数^[16]：

式中：$Re$——雷诺数；

$\rho$——流体密度/（kg·m⁻³）；

$v$——流体流速/（m·s⁻¹）；

$d$——当量直径/m；

$\mu$——流体的动力黏度/（Pa·s）。

如表2，试验中，渗透率测试的2种流量计算出的雷诺数均体现通过多孔介质的是层流。因此，可利用达西定律计算渗透率^[17]：

表  2  雷诺数计算数据

Table  2.  Reynolds number calculation

试验组	流量/（mL·min−1）	密度/（103 kg·m−3）	流速/（10−2 m·s−1）	当量直径/（10−3 m）	黏度/（10−6 kPa·s）	雷诺数
流量1	2.5	1	1.458	1.253	1.01	18.12
流量2	5.0	1	2.916	1.253	1.01	36.24

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式中：$K$——绝对渗透率/m²；

$Q$——渗流量/（m³·s⁻¹）；

$L$——样品长度/m；

$\Delta P$——样品两端压差/Pa；

$A$——样品截面积/m²。

2.   结果

2.1   渗透率与孔隙度关系

表3显示圆形颗粒多孔介质试样渗透率随孔隙度的变化关系，同一颗粒排列形式下的多孔介质试样随着孔隙度的增加而增加，但并不是简单的线性关系。Kozeny-Carman方程普遍用于描述渗透率与孔隙度的关系^{[17 − 18]}：

表  3  多孔介质渗透率与孔隙度关系

Table  3.  Relationship between the permeability and porosity of porous media

多孔介质 孔隙度	绝对渗透率/μm2
	规则排列 等径圆	不规则排列 等径圆	规则横排 等轴长椭圆	规则竖排 等轴长椭圆
0.3	32.62	30.86	39.72	36.80
0.4	81.56	57.67	78.83	73.53
0.5	83.24	107.81	85.12	78.53

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式中：$D$——等径多孔介质颗粒的直径/m；

$\varphi$——等径多孔介质的孔隙度。

理论上在等径多孔介质孔隙度相差不大的条件下，绝对渗透率与颗粒直径的平方成正比，但实际上测量值与Kozeny-Carman方程预测值相差较大。

通常，Kozeny-Carman方程是一个经验公式，它根据多孔介质的形态特征和物理性质，通过对多孔介质的渗透性、孔隙率、比表面积等参数进行统计建模得到。它只适用于一定范围内的孔隙度和颗粒直径，并且不考虑介质形状和排列方式等因素的影响。因此，在使用该公式时应该谨慎，根据实际情况进行修正和调整^[19]。对于规则排列等径圆多孔介质，Kozeny-Carman公式需要修正为：

对于不规则排列等径圆多孔介质，Kozeny-Carman公式需要修正为：

修正后的Kozeny-Carman方程预测值与试验数据匹配良好，预测值与试验值误差均在5%以内，见图3。

图  3  等径圆形多孔介质渗透率与孔隙度的试验关系和拟合曲线

Figure  3.  Experimental relationship between the permeability and porosity of equal-diameter circular porous media

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2.2   渗透率与颗粒排列形式

孔隙度会影响渗透率，颗粒排列形式也会影响其渗透率^{[20 − 23]}。3种样品型号多孔介质渗透率随颗粒排列形式变化的情况见表4。对比数据可以看出，在孔隙度和孔隙形状、大小均一致的情况下，排列不规则的多孔介质比同类型排列规则的多孔介质渗透率大。

表  4  多孔介质渗透率与颗粒排列形式关系

Table  4.  Relationship between porous media permeability and particle arrangement

多孔介质颗粒 排列方式	绝对渗透率/μm2
	等径圆， 孔隙度0.5	竖排等轴长椭圆， 孔隙度0.4	横排等轴长椭圆， 孔隙度0.4
规则	83.24	73.53	78.83
不规则	107.81	93.24	87.16

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多孔介质中颗粒长短轴之比也是影响渗透率的因素之一。本次选取5组试验进行对照，分别是：A17为规则横排等轴长椭圆（长短轴比为3∶1），孔隙度为0.4；A5为规则横排等轴长椭圆（长短轴比为2∶1），孔隙度为0.4；A12为规则排列等径圆（长短轴比1∶1），孔隙度为0.4；A2为规则竖排等轴长椭圆（长短轴比为2∶1），孔隙度为0.4；A18为规则竖排等轴长椭圆（长短轴比为3∶1），孔隙度为0.4。由表5可以看出，在其他条件均相同的情况下，不管椭圆是横向排列还是竖向排列，长短轴之比越接近1，其多孔介质渗透率越大。

表  5  等轴长椭圆多孔介质渗透率与颗粒长短轴之比

Table  5.  The relationship between the permeability of equiaxial elliptical porous media and the ratio of the particle’s major to minor axes

多孔介质颗粒 长短轴之比	绝对渗透率/μm2
	规则竖排等轴长椭圆	规则横排等轴长椭圆
3∶1	58.30	77.64
2∶1	73.53	78.83
1∶1	81.56	81.56

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颗粒横竖排列也会对渗透率造成影响，见表6。对于规则样品，横向排列的多孔介质样品的渗透率比纵向排列的多孔介质样品高。对于不规则排列的多孔介质，横向排列和纵向排列的渗透率差别不大。

表  6  椭圆多孔介质渗透率与颗粒横竖排列关系

Table  6.  Relationship between the permeability of elliptical porous media and the horizontal and vertical arrangement of particles

多孔介质颗粒 排列方式	绝对渗透率/μm2
	规则排列等轴长椭圆					不规则排列等轴长椭圆	不规则排列变轴长椭圆
	孔隙度0.3， 长短轴比为2∶1	孔隙度0.4， 长短轴比为2∶1	孔隙度0.5， 长短轴比为2∶1	孔隙度0.4， 长短轴比为3∶1		孔隙度0.4， 长短轴比为2∶1	孔隙度0.4， 长短轴比为2∶1
横	39.72	78.83	85.12	77.64		87.16	65.16
竖	36.80	73.53	78.53	58.30		93.24	71.79

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3.   讨论

大多情况下，Kozeny-Carman方程用于描述球体或椭球体多孔介质的渗透率与孔隙度的关系，而本试验使用的激光刻蚀机只能将多孔介质刻蚀成圆柱体，所以这可能是本文的渗透率与孔隙度不满足原始Kozeny-Carman方程的原因之一。

不规则排列多孔介质的渗透率大是因为孔隙分布是随机的，这导致在多孔介质中出现一些大的孔隙，这些孔隙可以提供更大的通道促进流体的渗透^[24]。此外，不规则排列会增加多孔介质内的流动路径，使得流体能使用更多的路径通过多孔介质，从而增加渗透率^[25]。然而，不规则性也可能导致一些狭窄的通道和死角，这些地方会增加流体的阻力，减少渗透率^[26]，在本次试验中选取的不规则图形通过人工干预避开了死角等问题，所以渗透率略大于规则排列多孔介质。而规则排列的多孔介质，孔隙之间的距离和分布比较均匀，流体在通过孔隙时形成了比较均匀的流动通道^[27]，但同时也会出现部分孔隙之间形成的“瓶颈”，这些瓶颈会阻碍流体的通过，从而降低多孔介质渗透率^{[28 − 30]}。

颗粒的横竖排列也会对渗透率造成影响（表6）。首先，对于规则样品，颗粒横向排列的多孔介质样品的渗透率比纵向排列的多孔介质样品高。这是因为在纵向排列的情况下，流体必须穿过更多的孔隙才能到达出口，这导致在孔隙形状、大小相同的情况下，增加了流体流动路径的长度（假设流体按最短路径经过孔隙，相同横向位移情况下流体在竖向排列多孔介质中会历经更长的纵向位移），因此会受到更多的阻力。另一个原因是本试验多孔介质样品是矩形，在模拟相同孔隙度的多孔介质时，纵向排列的平均孔隙比横向排列的平均孔隙小，会更容易被堵塞或阻碍流体流动，导致纵向排列的渗透率变小。

对于不规则排列的多孔介质，这一规律恰好相反。由于不规则排列多孔介质的孔隙分布本身就不够均匀，所以横向排列和纵向排列的渗透率差别不大。对于同一类型的多孔介质，竖向排列的多孔介质样品的渗透率比横向排列的多孔介质样品的渗透率更容易受到孔隙度的影响。这是因为在纵向排列的多孔介质中，单位长度内流体会穿过更多的孔隙，而变化孔隙度会导致这些孔隙大小发生较大的变化，从而导致渗透率变化较大。因此，在相同的孔隙度条件下，纵向排列的多孔介质会更容易受到孔隙度的影响，渗透率的变化会更加明显。

4.   结论

（1）多孔介质渗透率与孔隙度之间不是线性关系，圆形颗粒多孔介质渗透率与孔隙度基本满足修正的Kozeny-Carman公式。对于不规则排列等径圆孔隙度从0.3增加到0.5时，渗透率从30.86 μm²增加到107.81 μm²，而对于规则排列等径圆孔隙度从0.3增加到0.4时，渗透率从32.62 μm²增加到81.56 μm²。

（2）渗透率受多孔介质颗粒排列规则性影响。在孔隙度和孔隙形状、大小均一致的情况下，颗粒排列不规则的多孔介质要比同类型排列规则的多孔介质渗透率大。多孔介质的渗透率受颗粒长短轴之比的影响，试验结果表明长短轴之比越靠近1，其渗透率越大。对于规则竖排等轴长椭圆，颗粒长短轴比从3∶1减小到1∶1时，渗透率从58.30 μm²增加到81.56 μm²，而规则横排等轴长椭圆，颗粒长短轴比从3∶1减小到1∶1时，渗透率从77.64 μm²增加到81.56 μm²。

（3）对于规则样品，由于在纵向排列的情况下，流体必须穿过更多的孔隙才能到达出口，造成流体阻力变大，因此颗粒横向排列的多孔介质样品的渗透率比纵向排列的多孔介质样品高。颗粒竖向排列的多孔介质样品的渗透率比横向排列的多孔介质样品的渗透率更容易受到孔隙度的影响。