A compressive damage model for a rock considering the microcrack mechanical behavior
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摘要:
针对目前岩石压缩损伤模型未能很好地同时考虑微裂纹滑移与扩展对岩石总变形的贡献、微裂纹复合扩展准则及岩石损伤程度对被激活裂纹数量影响等不足，基于细观力学对微裂纹在单轴压缩荷载下的滑移及扩展机理展开研究。首先根据微裂纹滑移模型及能量平衡原理，建立了岩石单轴压缩应力应变关系，并认为微裂纹服从Weibull分布模型；进而以应变能密度准则作为微裂隙扩展判据，采用迭代法求解复合型断裂的翼裂纹扩展长度，并获得用翼裂纹扩展长度表示的岩石损伤变量演化方程，由此提出了一个新的岩石单轴压缩损伤模型，并验证了其合理性；最后，采用参数敏感性分析研究了微裂纹长度及摩擦系数和岩石断裂韧度对岩石力学特性的影响。结果表明：由本模型预测得到的岩石单轴压缩峰值强度与试验结果吻合较好，说明了其合理性。同时发现随着微裂纹长度增加及其摩擦系数减小、岩石断裂韧度增加，岩石单轴抗压峰值强度及峰值应变均随之减小。当微裂纹长度由60 μm增加到120 μm时，岩石单轴抗压峰值强度近似线性降低；而当微裂纹摩擦系数由0.5增加到0.8及岩石断裂韧度由0.3 MPa·m1/2增加到0.6 MPa·m1/2时，岩石单轴抗压峰值强度均是先缓慢增加，而后迅速增加。本研究为岩石压缩损伤本构模型的建立提供了一条新的思路，具有重要的理论意义。
Abstract:The contributions of the microcrack sliding and propagation to the rock total deformation, the mixed propagation criterion of the microcrack, and the influence of the rock damage degree on the number of the activated microcracks are not completely considered in the existing rock compressive damage model. Thus, the microcrack sliding and propagation mechanism under uniaxial compression was studied with the mesoscopic mechanics. Firstly, the uniaxial compression stress-strain relationship was developed according to the microcrack sliding model and energy balance which assumed the microcracks being Weibull distribution. Then the mixed fracture propagation length of the wing-crack was solved with the strain energy density criterion as the microcrack propagation criterion and iteration method. The damage evolution equation was obtained with the wing-crack propagation length. A new damage model for the rock under uniaxial compression was proposed and verified. Finally, the parametric sensitivity analysis was adopted to study the effects of the microcrack length, friction coefficient, and rock fracture toughness on the rock mechanical properties. The results show that the rock climax strength from the proposed model is consistent with the corresponding test result, indicating that the proposed model is reasonable. The uniaxial compression climax strength and strain both decrease with the increase of the microcrack length and the decrease of the microcrack friction coefficient. When the microcrack length increases from 60 μm to 120 μm, the uniaxial compression climax strength almost decreases linearly. When the microcrack friction coefficient increases from 0.5 to 0.8 and the rock fracture toughness increases from 0.3 MPa·m1/2 to 0.6 MPa·m1/2, the uniaxial compression climax strength increases slowly and then rapidly. This study provides new insight into the establishment of the rock damage constitutive model under compression.
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我国工程建设高速发展，桩基工程在岩溶区应用广泛[1 − 2]。由于岩溶地质的异质性和溶洞的复杂发展，基岩表面呈现不规则的溶槽和溶沟。岩溶地下水涌入基坑和桩孔，导致场地及周围地面沉降，引发岩溶地区桩基工程的多重技术问题，存在建筑物安全性的风险因素。传统的依赖少量钻孔岩芯的抗压强度评估可能导致工程失误[3 − 4]。实际上，地基的强度和稳定性受多种因素影响[5 − 7]，包括不同类型的临空面、溶洞、溶隙、溶蚀带，以及基坑开挖可能引发的突水涌泥、地面沉降等环境效应[8 − 9]。因此，在考虑岩溶地区桩基的持力层和承载力以及稳定性问题时，必须全面考虑各种因素的影响。
岩溶顶板稳定性研究经历了定性、半定量、定量3个阶段。定性方法使用工程地质学经验划定指标[8]，但存在主观性。半定量方法引入顶板安全厚度计算，如顶板厚跨比法[10]、近似结构力学法[11]、散体理论分析法[12]等，在考虑岩溶地区特殊结构和地下水条件时存在局限性。定量方法包括稳定系数法、普氏压力拱理论分析法和有限元数值法。稳定系数法[13]依赖实测数据和经验公式，但受地质条件和水文变化限制。普氏压力拱理论分析法[14]考虑地下水支撑，但简化了地质结构和水文条件。有限元数值法[15]能详细建模岩溶顶板，但需要准确参数和大量计算资源。
针对上述难点，近年来已逐步形成模糊多属性决策方法对该问题进行研究[16]。然而，现有的评价方法存在主观性较强、评价指标选取缺乏依据的问题，同时在权重选取上常采用常权理论。但是，一方面工程中随着时间尺度的增长，部分指标值会出现极值和突变[17]，常权理论易忽略随着时间推移对评价因素造成的影响；另一方面，岩溶区的地质问题是一个逐渐演化的过程，涉及物理和化学侵蚀、地下空间的扩展、水位上升、水力压力的增加等多个阶段。在演变过程中，地下空间的扩大和水的流动速度的增加通常标志着从量变到质变的转折点，可能会引发严重的地质问题[18]。
为解决常权模糊综合评价方法主观性、灵活性及评价结果精度方面的限制，以深圳市地铁三号线为研究区，引入故障分析理论和变权理论，采用变权模糊综合评价方法进行桩基下岩溶顶板稳定性评价。通过故障树分析选择主要评价因素，并基于变权理论建立岩溶顶板稳定性模糊综合评价系统。通过对比、验证和分析变权模糊综合评价模型与常权模糊综合评价模型计算结果，得到准确的研究区岩溶顶板稳定性评价结果。这种变权理论模型可以规避常权理论模型中指标值出现极值和突变的问题，为类似工程提供了有经验的评价方法。
1. 变权模糊综合评价模型
1.1 模型建立
模糊数学中定义了有关论域的概念[19]，定义论域$ \boldsymbol{U} $为将要参与评价的对象集合。基于上述定义将桩基下岩溶顶板稳定程度的评判纳入有限论域$ \boldsymbol{U} $的范畴，并将影响稳定程度的$ n $个因素视为$ \boldsymbol{U} $ 中的元素进行细致研究，表示为：
$$ \boldsymbol{U}=\left\{u_1,u_2,\cdots,u_i,\cdots,u_n\right\}\ \ \left(i=\mathrm{1,2},\cdots,n\right) $$ (1) 此外，定义桩基下岩溶顶板稳定性评语集（${{\boldsymbol{V}}} $），即所有可能出现的结果有$ m $个，表示为：
$$ \boldsymbol{\boldsymbol{V}}=\left\{v_1,v_2,\cdots,v_j,\cdots,v_m\right\}\ \ \left(j=\mathrm{1,2},\cdots,n\right) $$ (2) 最后，进行单因素模糊评价得到$ {r}_{i}=\{{r}_{i1},{r}_{i2},\cdots {,r}_{im}\} $。确定好各因素的模糊评价集后，构造全因素综合评价矩阵$ \boldsymbol{R} $，表示为:
$$ \boldsymbol{R}=\left[\begin{array}{*{20}{c}}r_{11} & r_{12} & \cdots & r_{1m} \\ r_{21} & r_{22} & \cdots & r_{2m} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ r_{n1} & r_{n2} & \cdots & r_{nm}\end{array}\right] $$ (3) 式中：$ {r}_{nm} $——第$ n $个指标对第$ m $个评价等级的隶属度。
1.1.1 桩基下岩溶顶板失稳因素确定
桩基下岩溶顶板稳定性系统庞大且环境复杂，存在多种导致岩溶顶板失稳的因素。为确定桩基下岩溶顶板失稳发生的可能路径和可能性，引入故障树分析法[20]。
故障树分析法以图形方式表示系统故障的逻辑关系，包括顶层事件、过程事件和底层事件。顶层事件是系统发生突发事件的原因，选择顶层事件需满足明确定义、可进一步分解、可度量的原则。顶层事件逐渐向下演绎分解展开，使用图形符号建立逻辑连接匹配对应过程事件。通过对过程事件的归纳与分析，并依次向下进行模块探索，直到不能或者不需要继续往下深究故障事件为止，此时的事件即定义为底层事件。通过分析事件的逻辑关系，并正确应用逻辑符号（表1），可以形成相应的故障树[21]。
表 1 常见故障树名称Table 1. Common fault tree names符号 名称 定义 
逻辑与门 所有输入事件发生输出事件才发生 
底事件 不能再进行展开的事件 
逻辑或门 有一个输入事件发生输出事件就发生 
结果事件 顶事件：位于故障树顶端
中间事件：除顶事件外的其他可展开事件为了达到稳定桩基下岩溶顶板的目的，需要溶洞顶板提供稳定承载力，溶洞几何特征和充填特征满足稳定性条件，同时保证基桩能够有效地传递荷载到溶洞顶板和地下岩层[22]。
通过研究桩基下岩溶顶板的力学环境与顶板失稳的诊断机制，结合深圳轨道交通三号线四期工程相关勘察试验资料和故障树分析的结果，依据模糊数学的相关理论建立桩基下岩溶顶板稳定性二级评判模型，模型树如图1所示。得到了包括顶板岩层厚度（$ {u}_{11} $）、裂隙发育及充填情况（$ {u}_{12} $）、岩石风化程度（$ {u}_{13} $）、岩石单轴饱和抗压强度（$ {u}_{14} $）、岩石层状构造（$ {u}_{15} $）、岩芯完整情况（$ {u}_{16} $）、溶洞宽度（$ {u}_{21} $）、溶洞高度（$ {u}_{22} $）、溶洞充填情况（$ {u}_{23} $）、桩长（$ {u}_{31} $）、基桩设计荷载（$ {u}_{32} $）11个评价指标，从而构成了桩基下岩溶顶板稳定性系统的影响要素。其中，指标$ {u}_{11}{、u}_{14}、{u}_{16}、{u}_{21}、{u}_{22}、 u_{31}{、u}_{32} $具有连续取值范围，可以采用实数或者取值范围较大的整数等连续数据来表示，称为连续性指标。指标$ {u}_{12}、{u}_{13}、{u}_{15}、{u}_{23} $具有有限个取值，表示为某种属性、类别、等级或状态的离散值，称为离散型指标。
1.1.2 桩基下岩溶顶板稳定性评价等级划分
在桩基下岩溶顶板稳定性的模糊综合评价方法中，评级标准与其他定量评价方法有所不同，允许在评语等级中包括模糊语言或术语，以更灵活的方式表达不确定性和模糊性[23]。
工程领域各大学科系统质量要求评价体系中关于评价等级的划分，通常分为4级。如矿井通风健康系统[24]为很健康、较健康、不健康、病态4级；黄土边坡稳定性[25]分为稳定、较稳定、较不稳定、不稳定4级；大桥安全评估[26]包括完好、良好、合格、不合格的4级评语集。
综合上述各工程领域等级划分理论，结合相关规范[4,27 − 28]拟定4级评语集，即：稳定、较稳定、较不稳定、不稳定，对桩基下岩溶顶板的稳定性进行评价。各等级的定义如下。
稳定：岩溶顶板无明显裂隙、变形和岩块松动，正常提供承载力。
较稳定：岩溶顶板有少量裂隙，但能较好封闭，轻微变形和岩块松动，在防治措施下可正常提供承载力。
较不稳定：岩溶顶板有较多裂隙，封闭能力有限，有大的变形和岩块松动，通过及时防治和不定时评价可提供承载功能。
不稳定：岩溶顶板有大量宽大裂隙，无法有效封闭，明显变形和岩块松动，可能导致严重损失，无法提供承载力，需立即解危处理。
1.2 计算模型
二级模糊综合评判的计算模型如式（4）。
$$ \boldsymbol{A}=\boldsymbol{H}\circ\boldsymbol{B}=\boldsymbol{H}\circ\left[\begin{array}{c}\boldsymbol{B}_1 \\ \boldsymbol{B}_2 \\ \boldsymbol{B}_3\end{array}\right]=\boldsymbol{H}\circ\left[\begin{array}{c}\boldsymbol{H}_1\circ\boldsymbol{R}_1 \\ \boldsymbol{H}_2\circ\boldsymbol{R}_2 \\ \boldsymbol{H}_3\circ\boldsymbol{R}_3\end{array}\right] $$ (4) 式中：$ \boldsymbol{H} $——二级综合评判的权重模糊集；
$ \boldsymbol{H}_i(i=1,2,3) $——一级综合评判的权重模糊集；
$ \boldsymbol{R}_i(i=\mathrm{1,2},3) $——一级综合评判中评语集与因素 集模糊关系，即一级评判矩阵；
$ \boldsymbol{B}_i(i=\mathrm{1,2},3) $——既是一级评判的结果集，又是二 级评判的因素集。
在该计算模型中需要确定模糊关系$ \boldsymbol{R} $，权集$ \boldsymbol{H} $及合成运算“$ \circ $”三要素。
1.2.1 模糊关系的确定
模糊关系（$ \boldsymbol{R} $）的关键在于确定各单因素的隶属度值[29]。隶属度用于将评价指标的具体数值转化为模糊语言项，以在模糊逻辑运算和综合计算中使用[30]。
针对连续性评价指标，参考相关书籍和标准[4,31 − 32]，建立分级标准（表2）。其中，岩芯完整程度可通过RQD值[33]表示，其范围一般在0~100之间，高值表明岩石坚固，低值则表示岩石力学性质相对较差。为确保因素集独立于单位族制，对顶板岩层厚度、溶洞高度、溶洞宽度以及桩长进行无量纲化处理，即以其与桩径的比值建立相应的分级标准和隶属函数。基于表2的数据，采用三角模糊数[34]对连续性评价指标进行模糊关系描述，其隶属度函数曲线详见图2。
表 2 连续性指标分级标准Table 2. Criteria for the classification of continuity indicators评价指标名称 稳定性状态 稳定 较稳定 较不稳定 不稳定 顶板岩层厚度
与桩径比值≥4.5 3.0～<4.5 1.5～<3.5 <1.5 岩石单轴饱
和抗压强度/MPa≥100 70～<100 40～<70 <40 岩芯完整情况/% ≥90 70 ~ <90 50～<70 <50 溶洞宽度与桩径比值 <1 1～<2 2～<4 ≥4 溶洞高度与桩径比值 <1 1～<2 2～<4 ≥4 桩长与桩径比值 ≥40 25～<40 10～<25 <10 基桩设计荷载/kN < 3000 3000 ～<8000 8000 ~<12000 ≥ 12000 表 3 离散性指标分级标准Table 3. Criteria for the classification of discrete indicators影响因素 稳定 欠稳定 岩石层状构造 厚层块状、强度高的岩石 泥质岩、白云质灰岩、薄层状有互层且岩性软化 裂隙发育情况 无断裂、裂隙不发育或胶结好 有断层通过；裂隙发育，岩体被两组以上裂隙切割，裂隙张开，岩体呈平砌状 岩石风化程度 基本无风化现象或微风化 中等至强风化 顶板情况 顶板岩层厚度与洞径比值大，顶板呈板状或拱状，可见钙质沉积 顶板岩层厚度与洞径比值小，有悬挂岩体，被裂隙切割且未胶结 溶洞内充填情况 密实沉积物填满且无水冲蚀的可能 未充填或半充填，水流冲蚀充填物，洞中见有近期塌落物 基于表3，采用专家打分法[8]确定其隶属度，具体方法为：邀请专家对各离散性指标下的不同指标值进行稳定性隶属度打分，利用$ F $统计量法[35]评估各专家分数的差异性，确保评价结果的可靠性，最后整理隶属度结果（表4）。
表 4 离散性指标因素隶属度取值Table 4. Values of the membership degree of discrete index factors离散型
指标因素指标值 稳定 较稳定 较不稳定 不稳定 裂隙发育及
填充情况裂隙不发育或发育
但胶结良好0.50 0.30 0.15 0.05 裂隙发育但多数胶结充填 0.40 0.40 0.15 0.05 裂隙发育且少数充填 0.20 0.30 0.40 0.10 裂隙极发育且无充填 0.05 0.15 0.35 0.45 岩石风化
程度微风化 0.50 0.30 0.15 0.05 弱风化 0.10 0.30 0.40 0.20 强风化 0.05 0.15 0.30 0.50 岩石层状
构造巨厚 0.40 0.30 0.20 0.10 厚层 0.20 0.40 0.30 0.10 薄层 0.10 0.20 0.25 0.45 溶洞充填
情况全充填 0.40 0.30 0.20 0.10 半充填 0.15 0.20 0.35 0.30 无充填 0.05 0.20 0.35 0.40 1.2.2 权值确定
岩溶顶板稳定性的度量经常选用权重模糊集的表征方法。然而，在实际岩溶区域评价中，地质环境的恶化可能导致影响岩溶顶板稳定性的指标值发生突变和质变。继续使用常权函数评估其重要性已不再合适，因此需要引入变权的概念 [25]。
李洪兴等[17]对变权思想进行了细致全面的阐述，并给出变权的一般性公式：
$$ \begin{split} \boldsymbol{W}\left(X\right)= & \frac{W_j^0S_j\left(X\right)}{\displaystyle\sum_{j=1}^mW_j^0S_j\left(X\right)}= \\ & \left(\frac{W_1^0S_1\left(X\right)}{\displaystyle\sum_{j=1}^mW_j^0S_j\left(X\right)},\frac{W_2^0S_2\left(X\right)}{\displaystyle\sum_{j=1}^mW_j^0S_j\left(X\right)},\cdots,\frac{W_m^0S_m\left(X\right)}{\displaystyle\sum_{j=1}^mW_j^0S_j\left(X\right)}\right) \end{split} $$ (5) $$ \boldsymbol{S} _{j\left(X\right)}=\left\{\begin{split} & 2-\mathrm{log}_{b_j}\mu\left(x_j\right) & \mu\left(x_j\right) > b_j \\ & 1 & \mu\left(x_j\right)\le b_j \end{split} \right. $$ (6) 式中：$ \boldsymbol{W}\left(X\right) $——$ m $维局部变权向量；
$ \boldsymbol{W}^0=(W_1^0,W_2^0,\cdots,W_m^0) $——任一常权向量；
$ \boldsymbol{S}\left(X\right) $——$ m $维状态影响向量；
$ \mu \left({x}_{j}\right) $——评价指标$ {x}_{j} $隶属于“不稳定”评价等级 的隶属度；
$ {b}_{j} $——评价指标$ {x}_{j}(j=\mathrm{1,2},\cdots ,m) $的调整限值，即 隶属于最低评价等级（不稳定）时的隶属 度阈值。
1.2.3 合成运算的确定
合成运算（“°”）通常有4种可以用于模糊评判运算：$ \boldsymbol{M}\left( < , > \right)、\boldsymbol{M}\left(\cdot, > \right)、\boldsymbol{M}\left( < ,\oplus\right)、\boldsymbol{M}(\cdot,\oplus) $。其中，$ \boldsymbol{M}\left( < , > \right) $常被用于主因素决定模式，“<”表示在多个数中取小值，“>”则相反，该算子表示只有最大值和最小值起作用，不考虑中间值的作用带来的计算影响，仅适合于单项最优选择。$ \boldsymbol{M}\left(\cdot, > \right)、\boldsymbol{M}\left( < ,\oplus\right) $与$ \boldsymbol{M}\left( < , > \right) $类似，皆忽略次要因素的作用；模糊综合评价选择$ \boldsymbol{M}(\cdot,\oplus) $进行评判运算[36]，对所有指标都兼顾，适用于整体评判模型，称为乘积算子，记为“°”。
2. 工程实例
深圳市城市轨道交通三号线四期工程坪地停车场工程区呈长方形，长
1100 m，宽220 m，总用地280000 m2，实际红线用地103000 m2。停车场地基处理总面积28100 m2，采用单层混凝土框架结构，桩基础，桩径1000 mm。停车场设计竖向承载力特征值约10200 kN。根据工程实地勘察成果，工点广泛揭露大理岩，发育溶（土）洞。在本次勘察见可溶岩（大理岩）钻孔245个，钻探及物探综合揭露到溶洞的钻孔有177个，见洞率约72.2%。本次共揭露溶洞535个，累计洞高
1293.1 m，岩溶发育等级为强烈发育。2.1 确定模糊矩阵
根据深圳地铁三号线坪地停车场桩基下岩溶顶板稳定性评价指标的实际评价值，代入各自对应的隶属度函数中进行计算，根据结果按式（3）构造出模糊关系矩阵$ \boldsymbol{R} $，具体内容见表5。
表 5 桩基下岩溶顶板稳定性评价模糊关系矩阵Table 5. Fuzzy relationship matrix for the stability evaluation of karst roof of pile foundation评价指标 实际评价值 模糊关系矩阵 相对权重 稳定 较稳定 较不稳定 不稳定 顶板岩层厚度 43.2 m 1.00 0 0 0 0.318 裂隙发育情况 节理、裂隙只在大理岩中发育且胶结良好 0.50 0.30 0.15 0.05 0.1031 岩石风化 中等风化 0.10 0.30 0.40 0.20 0.0959 岩石单轴饱和抗压强度 34.40 MPa 0 0 0.25 0.75 0.3896 岩石层状构造 中厚层岩石：0.3 m±0.05 m 0.20 0.40 0.30 0.10 0.0439 岩芯完整情况 87.65% 0.20 0.40 0.20 0.20 0.0494 溶洞宽度 3.45 m 0 0 0.30 0.70 0.6833 溶洞高度 3.07 m 0 0.17 0.83 0 0.1998 溶洞充填情况 溶洞充填少量粉质黏土 0.15 0.20 0.35 0.30 0.1168 桩长 23.2 m 0 0 0.25 0.75 0.250 0 基桩设计荷载 8007 kN0 0.10 0.90 0 0.750 0 2.2 确定指标权重
2.2.1 层次分析法确定常权权重
根据层次分析法的原则[12]，对桩基下岩溶顶板稳定性评价指标做出以下层次划分：
目标层：桩基下岩溶顶板稳定性评价（$ A $）。
准则层：顶板特征（$ {B}_{1} $）、溶洞特征（$ {B}_{2} $）、基桩特征（$ {B}_{3} $）。
方案层：顶板岩层厚度（$ {C}_{1} $）、裂隙发育及充填情况（$ {C}_{2} $）、岩石风化程度（$ {C}_{3} $）、岩石单轴饱和抗压强度（$ {C}_{4} $）、岩石层状构造（$ {C}_{5} $）、岩芯完整情况（$ {C}_{6} $）、溶洞高度（$ {C}_{7} $）、溶洞宽度（$ {C}_{8} $）、溶洞充填情况（$ {C}_{9} $）、桩长（$ {C}_{10} $）、基桩设计荷载（$ {C}_{11} $）。
按Saaty[37]提出的标度（1～9）及其倒数标度层次分析法确定常权方法下的各因素权重值，具体计算结果见表6—9。
表 6 A-B 判断矩阵Table 6. A-B judgment matrix评价指标 判断矩阵 常权权重 $ A $ $ {B}_{1} $ $ {B}_{2} $ $ {B}_{3} $ 顶板特征 $ {B}_{1} $ 1 1 2 0.4 溶洞特征 $ {B}_{2} $ 1 1 2 0.4 基桩特征 $ {B}_{3} $ 0.5 0.5 1 0.2 表 7 $ {B}_{1} $-C判断矩阵Table 7. $ {\mathit{B}}_{1} $-C judgment matrix评价指标 判断矩阵 常权权重 $ {B}_{1} $ $ {C}_{1} $ $ {C}_{2} $ $ {C}_{3} $ $ {C}_{4} $ $ {C}_{5} $ $ {C}_{6} $ 顶板岩层厚度 $ {C}_{1} $ 1 4 6 0.5 4 7 0.3180 裂隙发育及充填情况 $ {C}_{2} $ 0.25 1 1 0.25 3 3 0.1031 岩石风化 $ {C}_{3} $ 0.1667 1 1 0.2 3 3 0.0959 岩石单轴饱和抗压强度 $ {C}_{4} $ 2 4 5 1 6 6 0.3896 岩石层状构 $ {C}_{5} $ 0.25 0.3333 0.3333 0.1667 1 0.5 0.0439 岩芯完整程度 $ {C}_{6} $ 0.1429 0.3333 0.3333 0.1667 2 1 0.0494 表 8 $ {B}_{2} $-C判断矩阵Table 8. $ {\mathit{B}}_{2} $-C judgment matrix评价指标 判断矩阵 常权权重 $ {B}_{2} $ $ {C}_{7} $ $ {C}_{8} $ $ {C}_{9} $ 溶洞宽度 $ {C}_{7} $ 1 4 5 0.6833 溶洞高度 $ {C}_{8} $ 0.25 1 2 0.1998 溶洞充填情况 $ {C}_{9} $ 0.2 0.5 1 0.1168 表 9 $ {B}_{3} $-C判断矩阵Table 9. $ {\mathit{B}}_{3} $-C judgment matrix评价指标 判断矩阵 常权权重 $ {B}_{3} $ $ {C}_{10} $ $ {C}_{11} $ 桩长 $ {C}_{10} $ 1 0.3333 0.25 基桩设计荷载 $ {C}_{11} $ 3 1 0.75 对上述层次分析法计算结果和对应的一致性检验结果汇总于表10。
表 10 层次分析法结果Table 10. Analytic hierarchy results排序层 H $ \lambda_{\mathrm{max}} $ C.I C.R A-B [0.4，0.4，0.2] 3 0 0 $ {B}_{1} $-C [0.318， 0.1031 ，0.0959 ，0.3896 ，0.0439 ，0.0494 ]6.5574 0.07182 0.057 $ {B}_{2} $-C [ 0.6833 ，0.1998 ，0.1168 ]3 0.0082 0.015769 $ {B}_{3} $-C [0.25，0.75] 2 0 0 2.2.2 变权理论确定变权权重
（1）确定状态影响向量
按式（6），确定状态影响向量（$ \boldsymbol{\boldsymbol{S}}_j $）针对评价指标的评价值较差时进行“惩罚”变权处理，即当某个评价指标属于“不稳定”等级的隶属度大于$ {b}_{j} $时进行变权处理。“惩罚”变权处理的目的是降低异常值对结果的影响，通过对异常值进行减权处理，减少对结果的贡献，从而提高数据分析的准确性和稳定性[24]。为确定合适的$ {b}_{j} $值，基于调权水平、离散度、调节度等概念对$ \boldsymbol{S}_j $进行确定[38 − 39]，设置7个模拟方案，得出不同方案的调权水平及相应的桩基下岩溶顶板稳定性评价模拟结果（表11）。随着$ {b}_{j} $值变大，低于阈值的指标受到的“惩罚”越重，但$ {b}_{j} $趋近于1会造成式（6）无实际意义；$ {b}_{j} $值越小，受到的“惩罚”越轻，甚至当$ {b}_{j} $值接近于0，评价结果与实际情况完全相反，出现“惩罚不足”。因此，经过分析，调权水平为0.21，$ {b}_{j} $值为0.6时，变权评价效果良好，客观地反映了桩基下岩溶顶板稳定性状况。设定为$ b_j=0.6\ \ (j=\mathrm{1,2},\cdots,m) $。
表 11 不同隶属度阈值及其调权水平表Table 11. Different affiliation thresholds and their level of weighting$ {b}_{j} $值 0 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 调权水平 0.09 0.12 0.15 0.18 0.21 0.24 0.27 稳定性评价结果 稳定 较稳定 较稳定 较不稳定 不稳定 不稳定 不稳定 根据表5可知，岩石单轴饱和抗压强度、溶洞宽度、桩长等3项属“不稳定”评价等级的隶属度分别为0.75，0.70，0.75，大于规定的隶属度阈值0.6，需进行变权处理。
（2）确定变权权重
根据式（5）（6），得到了岩溶桩基顶板稳定性综合评价模型的变权权重（表12）。
表 12 桩基下岩溶顶板稳定性评价指标变权权重Table 12. Variable weighting of pile foundation karst top stability evaluation index评价指标 模糊关系矩阵 相对权重 变权权重 稳定 较稳定 较不稳定 不稳定 顶板岩层厚度 1.00 0 0 0 0.3180 0.318 0 裂隙发育及充填情况 0.50 0.30 0.15 0.05 0.1031 0.0822 岩石风化 0.10 0.30 0.40 0.20 0.0959 0.0892 岩石单轴饱和抗压强度 0 0 0.25 0.75 0.3896 0.4432 岩石层状构 0.20 0.40 0.30 0.10 0.0439 0.0311 岩芯完整情况 0.20 0.40 0.20 0.20 0.0494 0.0363 溶洞宽度 0 0 0.30 0.70 0.6833 0.7140 溶洞高度 0 0.17 0.83 0 0.1998 0.1657 溶洞充填情况 0.15 0.20 0.35 0.30 0.1168 0.1023 桩长 0 0 0.25 0.75 0.250 0 0.3076 基桩设计荷载 0 0.10 0.90 0 0.750 0 0.6925 （3）二级模糊综合评价
变权下的一级评价：基于变权理论的一级模糊综合评判矩阵见表13。
表 13 基于变权理论的一级模糊综合评判矩阵Table 13. One-level fuzzy comprehensive judgment matrix based on variable weight theory一级评价指标 模糊综合评判矩阵 稳定 较稳定 较不稳定 不稳定 顶板特征 0.3815 0.0784 0.1754 0.3610 溶洞特征 0.0153 0.0486 0.3875 0.5305 基桩特征 0 0.06925 0.7002 0.2307 变权下的二级评价：根据一级评价指标综合运算的结果，构建二级模糊评价矩阵B：
$$ \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{c}\boldsymbol{B}_1 \\ \boldsymbol{B}_2 \\ \boldsymbol{B}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0.381\; 5,\; 0.078\; 4,\; 0.175\; 4,\; 0.361\; 0 \\ 0.015\; 3,\; 0.048\; 6,\; 0.387\; 5,\; 0.530\; 5 \\ 0.00,0.692\; 5,\; 0.700\; 2,\; 0.230\; 7\end{array}\right] $$ (7) 根据二级评价指标的变权权重值，可得桩基下岩溶顶板稳定性二级模糊综合评价矩阵。
$$ \begin{split} \boldsymbol{A}= & \boldsymbol{H}\circ\boldsymbol{B}=\left[\mathrm{0.4,0.4,0.2}\right]\circ \\ & \left[\begin{array}{c}\mathrm{0.381\; 5,\; 0.078\; 4,\; 0.175\; 4,\; 0.361\; 0} \\ \mathrm{0.015\; 3,\; 0.048\; 6,\; 0.387\; 5,\; 0.530\; 5} \\ \mathrm{0,\; 0.692\; 5,\; 0.700\; 2,\; 0.230\; 7}\end{array}\right]= \\ & \left[\mathrm{0.158\; 7,\; 0.189\; 3,\; 0.365\; 2,\; 0.402\; 7}\right] \end{split} $$ (8) 根据最大隶属度原则，变权理论下深圳地铁三号线停车场桩基下岩溶顶板稳定性评价为“不稳定”。
（4）常权结果对比分析
为更直观和清晰的验证模糊变权理论在桩基下岩溶顶板的稳定性评价中的可行性与合理性，将引入常权值的模糊综合评价法进行对比，并于工程场地的真实情况进行对比分析。
引入常权权重的模糊综合计算结果如下：
①常权下的一级评价矩阵见表14。
表 14 基于常权理论的一级模糊综合评判矩阵Table 14. One-level fuzzy comprehensive judgment matrix based on constant power theory一级评价指标 模糊综合评判矩阵 稳定 较稳定 较不稳定 不稳定 顶板特征$ {u}_{1} $ 0.3978 0.0970 0.1743 0.3262 溶洞特征$ {u}_{2} $ 0.0175 0.0573 0.4117 0.5134 基桩特征$ {u}_{3} $ 0 0.075 0 0.7375 0.1875 ②常权下的二级评价：
$$ \boldsymbol{B}'=\left[\begin{array}{c}\boldsymbol{B}_1 \\ \boldsymbol{B}_2 \\ \boldsymbol{B}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0.397\; 8,\; 0.097\; 0,\; 0.174\; 3,\; 0.326\; 2 \\ 0.017\; 5,\; 0.057\; 3,\; 0.411\; 7,\; 0.513\; 4 \\ 0,\; 0.075\ 0,\; 0.737\; 5,\; 0.187\; 5\end{array}\right] $$ (9) 由表12取得二级评价指标的常权权重值，通过计算可得桩基下岩溶顶板稳定性二级模糊综合评价矩阵。
$$ \begin{split} \boldsymbol{A}'= & \boldsymbol{H}\circ\boldsymbol{B}=\left[\mathrm{0.4,0.4,0.2}\right]\circ \\ & \left[\begin{array}{c}0.397\; 8,\; 0.097\; 0,\; 0.174\; 3,\; 0.326\; 2 \\ 0.017\; 5,\; 0.057\; 3,\; 0.411\; 7,\; 0.513\; 4 \\ 0.00,\; 0.075,\; 0.737\; 5,\; 0.187\; 5\end{array}\right]= \\ & \left[0.166\; 1,\; 0.076\; 7,\; 0.381\; 9,\; 0.373\; 3\right] \end{split} $$ (10) 根据最大隶属度原则，常权理论下深圳某坪地停车场桩基下岩溶顶板稳定性评价为“较不稳定”。
将不同权值所确定的稳定性等级隶属度进行对比，如图3所示。
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图 3 常权与变权的隶属度评价结果Figure 3. Results of the affiliation evaluation of constant and variable weights常权权重和变权权重所算出的评价结果并不完全相同，变权方法中的“较不稳定”评价等级隶属度为
0.3662 ，比常权方法降低了4%；“不稳定”评价等级隶属度为0.4027 ，比常权方法增长了7.3%。表明变权方法通过放大不稳定指标的影响，能直接导致评价结果的改变，同时证明常权方法中会出现不稳定评价指标中和其他稳定指标的情况。出现这种情况的原因如下：①权重分配差异：变权模糊综合评判中，不同的指标因子在评价系统中的各个阶段被赋予不同的权重，以反映它们在评价对象中的相对重要性。而常权模糊综合评判中，所有的指标因子在系统运作过程中权重不变，即假设它们在评价对象中的重要性是相同的。即会出现常权稳定性模糊综合评价中会出现“不稳定”指标中和“稳定”指标的情况[20]，从而引起评价结果的不同。②评价方法理论不同，变权综合评价方法不仅考虑各个指标因子的相对重要性（即权重），还考虑了各个指标因子在不同状态下对评价目标的影响程度。因此，在变权综合评价中，权重不仅反映指标因子的重要性，还体现了指标因子状态对于评价结果的影响程度。这两方面的作用同时体现在可变的权重之中[27]，造成其与常权综合评判方法结果存在差异。根据场地工程详勘报告，拟建场地上部地基土层包括第四系全新统人工填土层、第四系全新统冲洪积层和第四系残积层，其工程性状差异大，承载能力不一。浅部地基土体为不均匀地基，稳定性差。下伏基岩为石炭系石磴子组大理岩，大理岩岩溶发育强烈，整体稳定性及均匀性较差。可以表明，采用变权理论下的“不稳定”评价与实际情况完全吻合，突显模型构建的合理性和可行性，同时规避了传统单一评价方法的局限。相关结论应引起工程设计人员的高度关注，以预防和治理顶板失稳事故的发生。
3. 结论
（1）采用故障树分析模型，逐级筛选出对桩基下岩溶顶板稳定性起关键作用的因素作为评价指标，能系统性地评估潜在失效因素，全面理解稳定性问题，从而弥补评价体系的不全面性，提高评价的准确性和可靠性。
（2）以深圳市地铁三号线岩溶发育区停车场桩基工程为例，分别采用变权理论模糊综合评价方法与常权理论模糊综合评价方法对桩基下岩溶顶板稳定性进行评价，结果表明，变权模型下评价结果为“不稳定”，常权模型下评价结果为“较不稳定”。变权评价模型相对于常权评价模型，“不稳定”评价等级隶属度上升了7.3%，与实际情况完全吻合，反映出变权模型相对于常权模型具有更高准确性。
（3）引入的变权模型方法通过“惩罚”变权的手段，可以避免常权计算中由于权重恒定不变出现的评价指标值出现极值和突变最终导致评价结果不准确的问题。
（4）为进一步提高评价结果的合理性、实用性和经济性，未来的研究将考虑地下水、群桩效应、施工影响等相关因素对桩基下岩溶顶板稳定性的影响。
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图 1 单轴压缩下含微裂纹的岩石试件
注：2a、α、θ分别为微裂纹长度、倾角和翼裂纹起裂角；φ为拉伸翼裂纹的初始成核方向与最大压缩应力的夹角；l为翼裂纹长度；τ*为微裂纹面上的有效剪应力；σ为试件受到的正应力。
Figure 1. Rock sample with the microcrack under uniaxial compression
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图 2 单轴压缩荷载下砂岩试验与计算曲线比较
Figure 2. Comparison of experimental and simulated data for sandstone under uniaxial compression
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图 3 单轴压缩下轴向应力、损伤与轴向应变曲线
Figure 3. Relationship between the axial stress, damage, and axial strain under uniaxial compression
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图 4 不同微裂纹长度时试件力学特性
Figure 4. Mechanical property of samples with different microcrack length
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图 5 不同微裂纹摩擦系数时试件力学特性
Figure 5. Mechanical property of samples with different microcrack friction coefficient
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1. 杨娥. 变权云模型在既有高速公路边坡健康评估中的应用研究. 安全与环境学报. 2024(12): 4552-4559 . 
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